Problema 1258

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II, ,

Se llama mediana de un triángulo a cada una de las rectas que pasan por un vértice del triángulo y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.

a) Calcule las ecuaciones de las tres medianas del triángulo de vértices A = (−1, 2, 3), B = (3, −4, 1) y C = (1, −4, 5).
b) Compruebe que las tres medianas se cortan en un punto y calcule las coordenadas de dicho punto.

Solución:

a) Comenzamos calculando los puntos medios de los segmentos:

P_{\overline{AB}}=\dfrac{(-1,2,3)+(3,-4,1)}2=(1,-1,2)\\\\Q_{\overline{BC}}=\dfrac{(3,-4,1)+(1,-4,5)}2=(2,-4,3)\\\\R_{\overline{AC}}=\dfrac{(-1,2,3)+(1,-4,5)}2=(0,-1,4)

Calculamos los vectores directores de las medianas:

\vec v_r=\overrightarrow{AQ}=(2,-4,3)-(-1,2,3)=(3,-6,0)\\\\\vec v_s=\overrightarrow{BR}=(0,-1,4)-(3,-4,1)=(-3,3,3)\\\\\vec v_t=\overrightarrow{PC}=(1,-1,2)-(1,-4,5)=(0,3,-3)

Vectores que se pueden simplificar resultando:

\vec v_r=(1,-2,0),~\vec v_s=(-1,1,1),~\vec v_t=(0,1,-1).

Tenemos así las tres medianas:

r:~\dfrac{x+1}1=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-3}0\\\\s:~\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+4}1=\dfrac{z-1}1\\\\t:~\dfrac{x-1}0=\dfrac{y+4}1=\dfrac{z-5}{-1}

b) Escribimos r en paramétricas:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=-1+\lambda\\y=2-2\lambda\\z=3\end{array}\right.

Calculamos el punto de corte de r y s sustituyendo las paramétricas de r en la continua de s:

\dfrac{-1+\lambda-3}{-1}=\dfrac{2-2\lambda+4}1=\dfrac{3-1}1

La solución de estas ecuaciones es \lambda=2. Sustituyendo en las paramétricas de r obtenemos el baricentro (1,-2,3).
Comprobamos que este punto también pasa por la otra mediana t:

\dfrac{1-1}0=\dfrac{-2+4}1=\dfrac{3-5}{-1}

Se satisfacen todas las ecuaciones luego las tres medianas se cortan en el baricentro.

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