Problema 1259

Considere la recta r y el plano π dados por las siguientes ecuaciones:

r:~\dfrac{x+1}2=\dfrac{y-2}1=\dfrac{z-1}0\qquad\pi:~x-2y-z=4

a) Estudie la posición relativa de la recta y el plano.
b) En caso de que la recta corte al plano, calcule el punto de corte y el ángulo que forman. En caso contrario, calcule la distancia entre la recta y el plano.
c) Determine el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π.


Solución:

a) Comenzamos escribiendo la recta en paramétricas:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=-1+2\lambda\\y=2+\lambda\\z=1\end{array}\right.

Sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano y resolvemos:

(-1+2\lambda)-2(2+\lambda)-(1)=4~;\\\\0\lambda=10~;\\\\0=10~!!!

Dado que la ecuación no tiene solución, recta y plano no se cortan en ningún punto por lo que recta y plano son paralelos.


b) La distancia entre la recta y el plano es igual a la distancia de un punto cualquiera de la recta al plano, por ejemplo, el punto de la recta P_r=(-1,2,1):

d(r,\pi)=d(P_r,\pi)=\dfrac{|-1-2\cdot2-1-4|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2}}=\dfrac{10}{\sqrt{6}}=\boxed{\dfrac{5\sqrt6}3\text{ u.l.}}


c) El plano buscado se construye con un punto y el vector director de r, por contenerla, y con el vector normal de \pi por ser perpendicular a él. El plano buscado \alpha es forma vectorial:

\alpha:~(x,y,z)=(-1,2,1)+\lambda(2,1,0)+\mu(1,-2,-1)

En forma implícita:

\begin{vmatrix}x+1&y-2&z-1\\2&1&0\\1&-2&-1\end{vmatrix}=(x+1)(-1)+(y-2)(2)+(z-1)(-4-1)=\\\\=-x-1+2y-4-5z+5~;\\\\\boxed{\alpha:~-x+2y-5z=0}

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