Problema 1260

Una urna tiene 2 bolas blancas y 3 bolas rojas. Consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas que se obtienen al repetir nueve veces el siguiente experimento: se  saca una bola de la urna y, después de anotar el color, se devuelve la bola a la urna.

a) ¿Qué tipo de distribución sigue dicha variable aleatoria y cuáles son sus parámetros?
b) ¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de bolas anotado sea menor o igual que 4?


Solución:

a) Se trata de un problema de distribución binomial donde definimos como éxito «sacar bola blanca» y cuya probabilidad es p=\frac25=0.4. El número de veces que se realiza la extracción es n=9.


b)  La media es:

\mu=np=9\cdot\dfrac25=\dfrac{18}5=3.6

y la desviación típica es:

\sigma=\sqrt{np(1-p)}=1.47


c) No hacemos la aproximación a la normal ya que esto se suele hacer a partir de una media de 5. Así que calculamos las probabilidades una a una:

P[x\leq4]=P[x=0]+P[x=1]+P[x=2]+P[x=3]+P[x=4]

\bullet~P[x=0]=\begin{pmatrix}9\\0\end{pmatrix}\cdot0.4^0\cdot(1-0.4)^{9-0}=0.01\\\bullet~P[x=1]=\begin{pmatrix}9\\1\end{pmatrix}\cdot0.4^1\cdot(1-0.4)^{9-1}=0.06\\\bullet~P[x=2]=\begin{pmatrix}9\\2\end{pmatrix}\cdot0.4^2\cdot(1-0.4)^{9-2}=0.16\\\bullet~P[x=3]=\begin{pmatrix}9\\3\end{pmatrix}\cdot0.4^3\cdot(1-0.4)^{9-3}=0.25\\\bullet~P[x=4]=\begin{pmatrix}9\\4\end{pmatrix}\cdot0.4^4\cdot(1-0.4)^{9-4}=0.25

Luego:

P[x\leq4]=0.01+0.06+0.16+0.25+0.25=0.73

Mur-MII-O-20-7A

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