Problema 1262

Tres institutos piden presupuesto de alojamiento en Roma en dos agencias de viajes, que les dan el precio por noche según tipo de habitación: individual, doble o triple.
La primera agencia ofrece los siguientes precios: individual a 65€, doble a 85€ y triple a 104€. La segunda agencia oferta la individual a 78€, la doble a 83€ y la triple a 106€.
El primer instituto necesita tres habitaciones individuales, quince dobles y dos triples, el segundo dos individuales, doce dobles y cinco triples y el tercer instituto una individual, dieciséis dobles y siete triples.

a) Exprese, mediante una matriz A, los precios de las dos agencias según el tipo de habitación y con otra matriz D la demanda de los tres institutos.
b) Mediante operaciones con las matrices anteriores, calcule el precio por noche que cada agencia facilita a los distintos institutos por el total de habitaciones solicitadas. ¿Qué agencia le interesaría a cada instituto?
c) ¿Existe la inversa de la matriz D? ¿Y de la matriz A? Justifique las respuestas.


Solución:

a) Las filas de la matriz A son las agencias (A_1,A_2) mientras que las columnas son el tipo de habitación (individual I, doble D, triple T):

A=\begin{matrix}A_1\\A_2\end{matrix}\overset{\begin{matrix}I&D&T\end{matrix}}{\begin{pmatrix}65&85&104\\78&83&106\end{pmatrix}}

Las filas de la matriz D son el tipo de habitación, mientras que las columnas son cada uno de los tres institutos:

D=\begin{matrix}I\\D\\T\end{matrix}\overset{\begin{matrix}I_1&I_2&I_3\end{matrix}}{\begin{pmatrix}3&2&1\\15&12&16\\2&5&7\end{pmatrix}}


b) Multiplicando A y D obtenemos la matriz cuyas filas son las dos agencias y las columnas son cada uno de los tres institutos:

AD=\begin{pmatrix}65&85&104\\78&83&106\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&2&1\\15&12&16\\2&5&7\end{pmatrix}=\begin{matrix}A_1\\A_2\end{matrix}\overset{\begin{matrix}I_1\qquad&I_2\qquad&I_3\end{matrix}}{\begin{pmatrix}\boxed{1678}&\boxed{1670}&2153\\1691&1682&\boxed{2148}\end{pmatrix}}

Para el primer instituto la opción más económica es con la agencia 1 pagando 1678€. Para el segundo instituto la opción más económica también es con la agencia 1 pagando 1670€. Para el tercer instituto la opción más económica es con la agencia 2 pagando 2148€.


c) La matriz A no tiene inversa porque no es cuadrada. Las matrices cuadradas tienen inversa si su determinante es distinto de 0. Veamos si D tiene inversa:

|D|=\begin{vmatrix}3&2&1\\15&12&16\\2&5&7\end{vmatrix}=252+64+75-24-210-240=-83

Luego, la matriz D sí tiene inversa.

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