Problema 1263

a) Represente la región factible definida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices:

x+2y\leq13\qquad x-y\leq4\qquad x-2y\geq-7\qquad x+y\geq5

b) Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivo F(x,y)=x+y en la región anterior y determine los puntos en los que se alcanzan.


Solución:

Representamos las rectas:

\left\{\begin{array}{l}x+2y=13\\x-y=4\\x-2y=-7\\x+y=5\end{array}\right.

p1263a

La zona sombreada es la región factible. Calculamos los vértices resolviendo los sistemas:

\begin{array}{lcl}A=\left\{\begin{array}{l}x-2y=-7\\x+y=5\end{array}\right.&\rightarrow&A=(1,4)\\\\B=\left\{\begin{array}{l}x-2y=-7\\x+2y=13\end{array}\right.&\rightarrow&B=(3,5)\\\\C=\left\{\begin{array}{l}x-y=4\\x+2y=13\end{array}\right.&\rightarrow&C=(7,3)\\\\D=\left\{\begin{array}{l}x-y=4\\x+y=5\end{array}\right.&\rightarrow&D=(4.5,0.5)\end{array}


b) Evaluamos la función objetivo F(x,y)=x+y en cada uno de los vértices:

A\rightarrow F(1,4)=1+4=5\\\\B\rightarrow F(3,5)=3+5=8\\\\C\rightarrow F(7,3)=7+3=10\\\\D\rightarrow F(4.5,0.5)=4.5+0.5=5

El máximo de la función objetivo es 10 y se alcanza en el vértice C. El mínimo de la función objetivo es 5 y se alcanza en todos los puntos del segmento que une los vértices A y D.

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