Problema 1264

Se considera la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2+\dfrac a{x-1}&\text{si}&x<0\\\\a+be^x&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.

a) Calcule los valores de a y b para que la función sea continua y derivable en su dominio.
b) Para a=2 y b=-2, estudie la monotonía de la función f y calcule sus extremos relativos.
c) Para a=2 y b=-2, determine las ecuaciones de las asíntotas de f, si existen.


Solución:

a) Las funciones parciales son continuas en todo su dominio siendo este todo \mathbb R. Estudiamos la continuidad en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}a+be^x=a+b\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}2+\dfrac a{x-1}=2-a\\\bullet~f(0)=a+be^0=a+b

de donde obtenemos la ecuación:

a+b=2-a\qquad\rightarrow\qquad 2a+b=2

La función f es derivable en todo \mathbb R. Queda estudiar bajo qué condiciones es derivable en x=0.

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{-a}{(x-1)^2}&\text{si}&x<0\\\\be^x&\text{si}&x>0\end{array}\right.

\displaystyle\bullet~f'(0^-)=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{-a}{(x-1)^2}=-a\\\bullet~f'(0^+)=\lim_{x\rightarrow0^+}be^x=b

de donde:

-a=b\qquad\rightarrow\qquad a+b=0

Unimos las dos condiciones:

\left\{\begin{array}{l}2a+b=2\\a+b=0\end{array}\right.

cuya solución es a=2 y b=-2. Siendo así, la función es continua y derivable en todo \mathbb R.


b) Para a=2 y b=-2 tenemos:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2+\dfrac 2{x-1}&\text{si}&x<0\\\\2-2e^x&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.

Estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • f es decreciente en x\in(-\infty,+\infty)

f no tiene extremos.


c) Asíntota vertical no tiene ya que el dominio es \mathbb R. Calculamos si tiene asíntota horizontal:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}2-2e^x=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}2+\dfrac2{x-1}=2

Tiene asíntota horizontal de ecuación y=2 cuando x\rightarrow-\infty.
Veamos si f presenta asíntota oblicua, (y=mx+n), cuando x\rightarrow+\infty:

m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{f(x)}x=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2-2e^x}x=\dfrac{\infty}{\infty}=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-2e^x}1=-\infty

Luego, f no tiene asíntota oblicua.

Deja un comentario