Problema 1265

Se considera la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-x+2&\text{si}&x\leq2\\\\-x^2+6x-8&\text{si}&2<x<4\\\\\dfrac{x-3}x&\text{si}&x\geq4\end{array}\right.

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de f en su dominio.
b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f.
c) Calcule \displaystyle\int_2^3f(x)~dx.


Solución:

a) Las funciones parciales son continuas y derivables en sus respectivos subdominios por tratarse de funciones polinómicas y racional. Queda estudiar la continuidad y derivabilidad en x=2 y x=4.

  • Continuidad en x=2.
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow2^+}-x^2+6x-8=0\\\bullet~\lim_{x\rightarrow2^-}-x+2=0\\\bullet~f(2)=-2+2=0
    f es continua en x=2.
  • Continuidad en x=4.
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow4^+}\dfrac{x-3}x=\dfrac14\\\bullet~\lim_{x\rightarrow4^-}-x^2+6x-8=0\\\bullet~f(4)=\dfrac{4-3}4=\dfrac14
    f no es continua en x=4 y por tanto, tampoco es derivable en x=4.

Dada la derivada de f:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-1&\text{si}&x<2\\\\-2x+6&\text{si}&2<x<4\\\\\dfrac3{x^2}&\text{si}&x>4\end{array}\right.

estudiamos la derivabilidad en x=2:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow2^+}-2x+6=2\\\bullet~\lim_{x\rightarrow2^-}-1=-1

por lo que f no es derivable en x=2.


b) Calculamos los puntos críticos de f igualando las funciones parciales de f a 0 y resolviendo:

\bullet~-1=0~!!!\\\\\bullet~-2x+6=0\qquad\rightarrow\qquad x=3\\\\\bullet~\dfrac3{x^2}=0~!!!

Teniendo en cuenta los subdominios de f y su punto crítico, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,2)&(2,3)&(3,4)&(4,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en x\in(2,3)\cup(4,+\infty)
  • f decrece en x\in(-\infty,2)\cup(3,4)

c) Calculamos la integral:

\displaystyle\int_2^3-x^2+6x-8~dx=\left[\dfrac{-x^3}3+3x^2-8x\right]_2^3=\\\\=\Big(-9+27-24\Big)-\left(\dfrac{-8}3+12-16\right)=\\\\=-6+\dfrac{20}3=\boxed{\dfrac23}

MCCSS-And-O-20-E4

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