Problema 1268

a) Una población de 25000 personas se ha dividido en cuatro estratos con tamaños 15000, 5000, 3000 y 2000 personas respectivamente. En esa población se ha realizado un muestreo estratificado con afijación proporcional, en el que se han elegido al azar 36 personas del tercer estrato. Determine el tamaño de la muestra total obtenida con este muestreo y su composición.

b) Dada la población P=\{2,4,6\}, construya todas las muestras posibles de tamaño 2 que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y halle la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas esas muestras.


Solución:

a) Del tercer estrato (3000 personas) se han elegido 36 personas, entonces, las personas elegidas para cada estrato y el total es:

  • Primer estrato:
    \dfrac{36}{3000}=\dfrac{n_1}{15000}\qquad\rightarrow\qquad n_1=180\text{ personas}
  • Segundo estrato:
    \dfrac{36}{3000}=\dfrac{n_2}{5000}\qquad\rightarrow\qquad n_2=60\text{ personas}
  • Cuarto estrato:
    \dfrac{36}{3000}=\dfrac{n_4}{2000}\qquad\rightarrow\qquad n_4=24\text{ personas}
  • Tamaño de la muestra:
    180+60+36+24=300\text{ personas}

b) Las muestras m_i de tamaño 2 son:

m_1=\{2,4\}\qquad m_2=\{2,6\}\qquad m_3=\{4,6\}

Las medias muestrales x_i son:

\overline x_1=\dfrac{2+4}2=3\qquad\overline x_2=\dfrac{2+6}2=4\qquad x_3=\dfrac{4+6}2=5

La media \overline x de las medias muestrales es:

\overline x=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N=3}x_i}N=\dfrac{3+4+5}3=4

La varianza es:

\sigma^2=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\overline x_i^2\cdot f_i}N=\dfrac{3^2+4^2+5^2}3=\dfrac{50}3

y la desviación típica:

\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\dfrac{50}3}=\dfrac{5\sqrt6}3

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