Problema 1269

Se ha tomado una muestra de 16 pacientes tratados por un especialista y se ha observado que el tiempo de espera en su consulta, en minutos, ha sido de:

8\quad9.2\quad10\quad8.5\quad12\quad9\quad11.3\quad7\quad8.5\quad8.3\quad7.6\quad9\quad9.4\quad10.5\quad8.9\quad6.8

Supongamos que el tiempo de espera en esta consulta se distribuye según una ley Normal de varianza 4 y media desconocida.

a) Halle un intervalo de confianza  al 97.5% para estimar el tiempo medio de espera de los pacientes tratados por este especialista.
b) ¿Cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para asegurar, con un nivel de confianza del 90%, que el error cometido sea, a lo sumo, de 0.3 minutos?


Solución:

a) La media muestral es:

\overline x=\dfrac{\displaystyle\sum x_i}N=\dfrac{144}{16}=9

Para un nivel de confianza del 97.5% tenemos que z_{\alpha/2}=2.24.
El error cometido es:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=2.24\cdot\dfrac{\sqrt4}{\sqrt{16}}=1.12

Y el intervalo de confianza:

(\overline x-E,\overline x+E)=\boxed{(7.88,10.12)}


b) Para un nivel de confianza del 90% tenemos que z_{\alpha/2}=1.645. Dado que:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}

despejamos n:

0.3=1.645\cdot\dfrac{\sqrt4}{\sqrt n}\\\\\sqrt n=10.96\\\\\boxed{n=121}

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