Problema 1270

Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a:

\left\{\begin{array}{rl}x+ay&=0\\x+2z&=0\\x+ay+(a+1)z&=a\end{array}\right.

a) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro a.
b) Resuelva el sistema para a=0.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&a&0\\1&0&2\\1&a&a+1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&a&0&0\\1&0&2&0\\1&a&a+1&a\end{pmatrix}

\begin{vmatrix}1&a&0\\1&0&2\\1&a&a+1\end{vmatrix}=2a-a(a+1)-2a=-a(a+1)

Determinante que se anula para a=0 y a=-1.

  • Si a\neq0 y a\neq-1 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=0, entonces M=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&0&2\\1&0&1\end{pmatrix} cuya rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\1&2\end{vmatrix}=2\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&0&2&0\\1&0&1&0\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&1&0\end{vmatrix}=0
    Por lo que rg(M*)=2 y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=-1, entonces M=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&0&2\\1&-1&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\1&0\end{vmatrix}=1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}1&-1&0&0\\1&0&2&0\\1&-1&0&-1\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}1&-1&0\\1&0&0\\1&-1&-1\end{vmatrix}=-1
    Por lo que rg(M*)=3, y el sistema es incompatible.

b) Para a=0 el sistema es compatible indeterminado como vimos en el apartado anterior:

\left\{\begin{array}{rl}x&=0\\x+2z&=0\\x+z&=0\end{array}\right.

sistema que es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}x&=0\\x+z&=0\end{array}\right.

Para resolverlo parametrizamos y=\lambda y obtenemos la solución:

\boxed{\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=\lambda\\z=0\end{array}\right.}

Mad-MCCSS-O-20-A1

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