Problema 1272

Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSS, ,

Se considera la función real de variable real

f(x)=-x^4+x^3+2x^2

a) Determine la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x=−1.
b) Obtenga el área del recinto acotado delimitado por la función f(x) y el eje de abscisas para valores de x>0.

Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

En nuestro caso f(x)=-x^4+x^3+2x^2 y x_0=-1:

f'(x)=-4x^3+3x^2+4x~;\\\\f(-1)=-(-1)^4+(-1)^3+2\cdot(-1)^2=0~;\\f'(-1)=-4\cdot(-1)^3+3\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)=3

Sustituyendo en la ecuación de la recta tangente:

y=3\cdot(x-(-1))+0~;\\\\\boxed{y=3x+3}

b) Comenzamos calculando las raíces de f:

-x^4+x^3+2x^2=0~;\\\\x^2(-x^2+x+2)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0,~x=-1,~x=2.
Esta función polinómica de cuarto grado es continua en \mathbb R y diverge a -\infty cuando x\rightarrow\pm\infty. Veamos dónde f es positiva:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,0)&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f(x)&-&+&+&-\\\hline\end{array}

Para valores x>0, el área S de la región buscada es:

\displaystyle S=\int_0^2-x^4+x^3+2x^2~dx=\left[\dfrac{-x^5}5+\dfrac{x^4}4+\dfrac{2x^3}3\right]_0^2=\\\\=\left(\dfrac{-2^5}5+\dfrac{2^4}4+\dfrac{2\cdot2^3}3\right)-(0)=\boxed{\dfrac{44}{15}\text{ u.a.}}

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