Problema 1274

La publicidad de una marca de bolígrafos afirma que escriben 2 km. Para realizar un control de calidad, se considera que la longitud de escritura de estos bolígrafos puede aproximarse por una variable aleatoria con distribución normal de media μ km y desviación típica 0,5 km.

a) Obtenga el número mínimo de bolígrafos que deberían seleccionarse en una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de μ por la media muestral, sea como mucho 0,05 km con un nivel de confianza del 95,44 %.
b) Si la longitud media de escritura, μ , es la anunciada en la publicidad, calcule la probabilidad de que, con una muestra de 16 bolígrafos elegidos al azar, se puedan escribir más de 30 km.


Solución:

a) El número mínimo es:

n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2

Para un nivel de confianza del 95.44% tenemos que:

p=\dfrac{1+0.9544}2=0.9772

Buscamos esa probabilidad en la tabla de probabilidades y obtenemos que z_{\alpha/2}=2.
Dado que E=0.05 y \sigma=0.5, entonces:

n=\left(2\cdot\dfrac{0.5}{0.05}\right)^2=\boxed{400}


b) Si con 16 bolígrafos hacemos 30 kilómetros, significa que de media cada bolígrafo hace:

\overline x=\dfrac{30}{16}=1.875

Para escribir más de 30 kilómetros, cada bolígrafo debería escribir de media más de 1.875 kilómetros. Calculamos la probabilidad de que esto ocurra tipificando:

P[x>1.875]=P\left[z>\dfrac{1.875-2}{0.5}\right]=P[z>-0.25]=P[z\leq0.25]

Buscamos en la tabla de probabilidades y obtenemos la probabilidad:

P[z\leq0.25]=\boxed{0.5987}

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