Problema 1275

Se considera la matriz dada por $A=\begin{pmatrix}3&1&2\\0&m&0\\1&-1&2\end{pmatrix}$

a) Calcule el valor del parámetro real m para que $A^2-5A=-4I$ , siendo I la matriz identidad.
b) Para m=1, indique si la matriz A es invertible y, en caso afirmativo, calcule su inversa.

Solución:

a) Tenemos que:

$\bullet~A^2=\begin{pmatrix}3&1&2\\0&m&0\\1&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1&2\\0&m&0\\1&-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11&1+m&10\\0&m^2&0\\5&-1-m&6\end{pmatrix}\\\\\bullet~5A=\begin{pmatrix}15&5&10\\0&5m&0\\5&-5&10\end{pmatrix}\\\\\bullet~A^2-5A=\begin{pmatrix}11&1+m&10\\0&m^2&0\\5&-1-m&6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}15&5&10\\0&5m&0\\5&-5&10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&m-4&0\\0&m^2-5m&0\\0&4-m&-4\end{pmatrix}\\\\\bullet~-4I=\begin{pmatrix}-4&0&0\\0&-4&0\\0&0&-4\end{pmatrix}$

Igualando las dos últimas matrices obtenemos:

$\begin{pmatrix}-4&m-4&0\\0&m^2-5m&0\\0&4-m&-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&0&0\\0&-4&0\\0&0&-4\end{pmatrix}$

$\left\{\begin{array}{l}m-4=0\\m^2-5m=-4\end{array}\right.$

de la primera ecuación obtenemos la solución $m=4$ . De la segunda ecuación obtenemos $m=4~m=1$ .
La solución que satisface las dos ecuaciones y que verifica $A^2-5A=-4I$ es $\boxed{m=4}$ .