Problema 1275

Se considera la matriz dada por A=\begin{pmatrix}3&1&2\\0&m&0\\1&-1&2\end{pmatrix}

a) Calcule el valor del parámetro real m para que A^2-5A=-4I, siendo I la matriz identidad.
b) Para m=1, indique si la matriz A es invertible y, en caso afirmativo, calcule su inversa.


Solución:

a) Tenemos que:

\bullet~A^2=\begin{pmatrix}3&1&2\\0&m&0\\1&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1&2\\0&m&0\\1&-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11&1+m&10\\0&m^2&0\\5&-1-m&6\end{pmatrix}\\\\\bullet~5A=\begin{pmatrix}15&5&10\\0&5m&0\\5&-5&10\end{pmatrix}\\\\\bullet~A^2-5A=\begin{pmatrix}11&1+m&10\\0&m^2&0\\5&-1-m&6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}15&5&10\\0&5m&0\\5&-5&10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&m-4&0\\0&m^2-5m&0\\0&4-m&-4\end{pmatrix}\\\\\bullet~-4I=\begin{pmatrix}-4&0&0\\0&-4&0\\0&0&-4\end{pmatrix}

Igualando las dos últimas matrices obtenemos:

\begin{pmatrix}-4&m-4&0\\0&m^2-5m&0\\0&4-m&-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&0&0\\0&-4&0\\0&0&-4\end{pmatrix}

\left\{\begin{array}{l}m-4=0\\m^2-5m=-4\end{array}\right.

de la primera ecuación obtenemos la solución m=4. De la segunda ecuación obtenemos m=4~m=1.
La solución que satisface las dos ecuaciones y que verifica A^2-5A=-4I es \boxed{m=4}.


b) Una matriz es invertible si su determinante es distinto de 0.

|A|=\begin{vmatrix}3&1&2\\0&1&0\\1&-1&2\end{vmatrix}=6-2=4\neq0

luego A posee inversa. Dicha inversa la calculamos con la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

\text{Adj}A=\begin{pmatrix}2&0&-1\\-4&4&4\\-2&0&3\end{pmatrix}

Luego:

\boxed{A^{-1}=\dfrac14\cdot\begin{pmatrix}2&-4&-2\\0&4&0\\-1&4&3\end{pmatrix}}

Mad-MCCSS-O-20-B1

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