Problema 1276

La región del plano S está definida por las siguientes expresiones:

x\geq3\qquad0\leq y\leq15\qquad y-5+\dfrac x2\geq0\qquad y-x\leq10\qquad y+20\geq2x

a) Determine las coordenadas de sus vértices y represente en el plano la región S.
b) Obtenga el valor máximo y el valor mínimo de la función f(x,y)=x+y en esta región, indicando los puntos en los cuales se alcanzan estos valores.


Solución:

a) A partir de las inecuaciones escribimos las ecuaciones de las rectas:

\left\{\begin{array}{l}x=3\\y=0\\y=15\\y-5+\dfrac x2=0\\y-x=10\\y+20=2x\end{array}\right.

Representamos las rectas en una misma gráfica. La zona sombreada es la región S:

Calculamos los vértices resolviendo los sistemas:

\begin{array}{lrl}A:~\left\{\begin{array}{l}y=15\\y+20=2x\end{array}\right.&\rightarrow&A=(17.5,15)\\\\B:~\left\{\begin{array}{l}y=0\\y+20=2x\end{array}\right.&\rightarrow&B=(10,0)\\\\B:~\left\{\begin{array}{l}y=0\\y-5+\frac x2=0\end{array}\right.&\rightarrow&B=(10,0)\\\\C:~\left\{\begin{array}{l}x=3\\y-5+\frac x2=0\end{array}\right.&\rightarrow&C=(3,3.5)\\\\D:~\left\{\begin{array}{l}x=3\\y-x=10\end{array}\right.&\rightarrow&D=(3,13)\\\\E:~\left\{\begin{array}{l}y=15\\y-x=10\end{array}\right.&\rightarrow&E=(5,15)\end{array}

Hemos comprobado que el vértice B se obtiene como intersección de tres rectas.


b) Los valores extremos de la función se obtendrá en alguno de los vértices o arista de la región S. Evaluamos f(x,y)=x+y en cada vértice:

A\qquad\rightarrow\qquad f(17.5,15)=17.5+15=32.5\\\\B\qquad\rightarrow\qquad f(10,0)=10\\\\C\qquad\rightarrow\qquad f(3,3.5)=6.5\\\\D\qquad\rightarrow\qquad f(3,13)=16\\\\E\qquad\rightarrow\qquad f(5,15)=20

El valor máximo de f se obtiene en el vértice A con un valor de 32.5, y el valor mínimo de f se obtiene en el vértice C con un valor de 6.5.

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