Problema 1277

Se considera la función real de variable real dada por la siguiente expresión:

f(x)=3(x+k)e^{\frac{-x}2}

a) Indique el dominio de la función y obtenga razonadamente el valor del parámetro real k para que la tangente a la función en el punto de abscisa x=1 sea horizontal. Determine también la ecuación de la recta tangente a la función en dicho punto.
b) Para k=1 , señale los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x).


Solución:

a) La función f se obtiene como el producto de dos funciones y_1=3(x+k) y y_2=e^{\frac{-x}2} cuyos dominios son \mathbb R luego, el dominio de f es \mathbb R.

Si la tangente es horizontal en x=1, entonces f'(1)=0.

f'(x)=3e^{\frac{-x}2}+3(x+k)e^{\frac{-x}2}\cdot\dfrac{-1}2=3e^{\frac{-x}2}\left(1-\dfrac{x+k}2\right)

Para x=1:

f'(1)=3e^{\frac{-1}2}\cdot\left(1-\dfrac{1+k}2\right)=0~;\\\\\dfrac3{\sqrt e}\cdot\dfrac{2-(1+k)}2=0~;\\\\\dfrac3{\sqrt e}\cdot\dfrac{1-k}2=0

ecuación cuya solución es \boxed{k=1}.

Sabemos que con k=1, la recta tangente es horizontal en x=1, es decir, su ecuación es de la forma:

y=f(1)

Dado que f(1)=3\cdot(1+1)e^{\frac{-1}2}=\dfrac6{\sqrt e}, entonces:

\boxed{rt:~y=\dfrac6{\sqrt e}}


b) Para k=1, los puntos críticos de f son:

f'(x)=3e^{\frac{-x}2}\left(1-\dfrac{x+1}2\right)=3e^{\frac{-x}2}\cdot\dfrac{2-(x+1)}2~;\\\\f'(x)=\dfrac32\cdot e^{\frac{-x}2}\cdot(1-x)=0

El único punto crítico está en x=1.
Dado éste punto crítico y el dominio, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • f crece en x\in(-\infty,1)
  • f decrece en x\in(1,+\infty)

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