Problema 1279

Determinado modelo de lavadora tiene un programa de lavado con un consumo de agua que puede aproximarse por una variable aleatoria con distribución normal cuya desviación típica es de 7 litros.

a) En una muestra aleatoria simple de 10 lavadoras los consumos de agua en un lavado con este programa fueron los siguientes:

40\qquad45\qquad38\qquad44\qquad41\qquad40\qquad35\qquad50\qquad40\qquad37

Construya el intervalo de confianza al 90 % para estimar el consumo medio de agua de este modelo de lavadoras con dicho programa de lavado.
b) A partir de una muestra de 64 lavadoras elegidas al azar, se obtuvo un intervalo de confianza para la media con una longitud de 5 litros. Obtenga el nivel de confianza utilizado para construir el intervalo.


Solución:

a) Dado los tiempos x_i, la media de las medidas es:

\overline x=\dfrac{\sum x_i}N=\dfrac{410}{10}=41

Para un nivel de confianza del 90% tenemos una probabilidad:

p=\dfrac{1+0.9}2=0.95

Buscamos en la tabla de probabilidades y tenemos que z_{\alpha/2}=1.645 (haciendo interpolación lineal). Luego el error es:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=1.645\cdot\dfrac7{\sqrt10}=3.64

El intervalo de confianza la 90% es:

(\overline x-E,\overline x+E)=(37.36,44.64)


b) Dado el intervalo de confianza (\overline x-E,\overline x+E), la longitud del intervalo es:

5=(\overline x+E)-(\overline x-E)=2E~;\\\\E=\dfrac52=2.5

Dado que \sigma=7, entonces:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}~;\\\\z_{\alpha/2}=E\cdot\dfrac{\sqrt n}{\sigma}=2.5\cdot\dfrac{\sqrt{64}}7=2.8571

Buscando en la tabla de probabilidad de nuevo, obtenemos p=0.998, y dado que:

p=\dfrac{1+NC}2~;\\\\NC=2p-1=0.996

Tenemos un nivel de confianza del 99.6%.

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