Problema 1280

Consideramos las matrices

A=\begin{pmatrix}a&a&1\\a&0&0\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}b&-b&1\\3&0&0\end{pmatrix}\qquad C=\begin{pmatrix}c&-3&1\\c&0&0\end{pmatrix}

a) Calcule las matrices A+B y 3C-B.
b) Exprese en forma matricial el sistema de ecuaciones que se obtiene al plantear A+B=3C-B y resuélvalo.


Solución:

a) Calculamos las matrices:

\bullet~A+B=\begin{pmatrix}a&a&1\\a&0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b&-b&1\\3&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b&a-b&2\\a+3&0&0\end{pmatrix}\\\\\bullet~3C-B=3\begin{pmatrix}c&-3&1\\c&0&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b&-b&1\\3&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3c-b&-9+b&2\\3c-3&0&0\end{pmatrix}


b) Al igualar los dos resultados anteriores obtenemos el sistema:

\left\{\begin{array}{l}a+b=3c-b\\a-b=-9+b\\a+3=3c-3\end{array}\right.\qquad\rightarrow\qquad\left\{\begin{array}{cccl}a&+2b&-3c&=0\\a&-2b&&=-9\\a&&-3c&=-6\end{array}\right.

Escribimos el último sistema en forma matricial:

\begin{pmatrix}1&2&-3\\1&-2&0\\1&0&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-9\\-6\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

\begin{vmatrix}1&2&-3\\1&-2&0\\1&0&-3\end{vmatrix}=6-6+6=6\neq0

Se puede concluir que el sistema es compatible determinado. Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

a=\dfrac{\begin{vmatrix}0&2&-3\\-9&-2&0\\-6&0&-3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&-3\\1&-2&0\\1&0&-3\end{vmatrix}}=\dfrac{36-54}6=-3\\\\b=\dfrac{\begin{vmatrix}1&0&-3\\1&-9&0\\1&-6&-3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&-3\\1&-2&0\\1&0&-3\end{vmatrix}}=\dfrac{27+18-27}6=3\\\\c=\dfrac{\begin{vmatrix}1&2&0\\1&-2&-9\\1&0&-6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&-3\\1&-2&0\\1&0&-3\end{vmatrix}}=\dfrac{12-18+12}6=1

Gal-MCCSS-O-20-P1

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