Problema 1281

Un fabricante de sistemas de iluminación quiere producir focos de tecnología led en dos modelos distintos: A y B. Para diseñar la estrategia de producción diaria tendrá en cuenta que se producirán al menos 50 focos del modelo A, que el número de focos del modelo B no superará las 300 unidades y que se producirán al menos tantos focos del modelo B como del modelo A. Además, la producción total no superará las 500 unidades diarias.

a) Formule el sistema de inecuaciones asociado al problema.
b) Represente la región factible y calcule sus vértices.
c) Si el beneficio obtenido por cada foco del modelo A es de 60 euros y por cada foco del modelo B es de 40 euros, ¿cuántos focos de cada modelo debe producir diariamente para maximizar el beneficio? ¿A cuánto asciende el beneficio máximo?


Solución:

a) Sea x el «número de focos de modelo A» y sea y el «número de focos de modelo B» que hay que producir diariamente.
Se producirán al menos 50 focos del modelo A:

x\geq50

El número de focos del modelo B no superarán las 300 unidades:

y\leq300

Se producirán al menos tantos focos del modelo B como del modelo A:

y\geq x

La producción total no superarán las 500 unidades:

x+y\leq500

Incluyendo las restricciones de positividad, el sistema asociado a este problema resulta:

\left\{\begin{array}{l}x\geq50\\y\leq300\\y\geq x\\x+y\leq500\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.


b) A partir del sistema de ecuaciones escribimos las ecuaciones de las rectas:

\left\{\begin{array}{l}x=50\\y=300\\y=x\\x+y=500\\x=0\\y=0\end{array}\right.

Rectas que representamos en la siguiente gráfica:

p1281

La región factible es la región sombreada, es el conjunto de puntos solución del sistema de inecuaciones.
Los vértices de la región factible se obtiene resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas que forman dicho vértice:

\begin{array}{lcl}A:~\left\{\begin{array}{l}x=50\\y=x\end{array}\right.&\rightarrow&A=(50,50)\\\\B:~\left\{\begin{array}{l}x=50\\y=300\end{array}\right.&\rightarrow&B=(50,300)\\\\C:~\left\{\begin{array}{l}x+y=500\\y=300\end{array}\right.&\rightarrow&C=(200,300)\\\\D:~\left\{\begin{array}{l}x+y=500\\y=x\end{array}\right.&\rightarrow&D=(250,250)\end{array}


c) La función beneficios es f(x,y)=60x+40y. Evaluamos esta función en cada vértice:

A\rightarrow f(50,50)=60\cdot50+40\cdot50=5000\\\\B\rightarrow f(50,300)=15000\\\\C\rightarrow f(200,300)=24000\\\\D\rightarrow f(250,250)=25000

El máximo de la función beneficios se obtiene produciendo 250 focos del modelo A y 250 focos del modelo B. Con esta producción se obtiene un beneficio de 25000€.

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