Problema 1283

Dada la función f(x)=-4x^2+12x-5

a) Realice su representación gráfica estudiando sus puntos de corte con los ejes, monotonía y extremo relativo.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) , el eje OX y las rectas x=1, x=2.


Solución:

a) Calculamos los puntos de corte de f con los ejes:

  • Corte con el eje x (f(x)=0):
    -4x^2+12x-5=0
    ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=0.5,~x=2.5.
    Los puntos son (0.5,0) y (2.5,0).
  • Corte con el eje y (x=0):
    y=-4\cdot0^2+12\cdot0-5=-5
    El punto es (0,-5).

Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=-8x+12=0~;\\\\8x=12~;\\\\x=\dfrac32=1.5

Dado que el dominio de f es \mathbb R y el punto crítico, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,1.5)&(1.5,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • Crece en x\in(-\infty,1.5)
  • Decrece en x\in(1.5,+\infty)
  • Máximo en (1.5,4)

La gráfica de la función es:

p1283


b) El recinto cuya área Sdebemos calcular es la región sombreada en la siguiente gráfica:

p1283b

\displaystyle S=\int_1^2-4x^2+12x-5~dx=\left[\dfrac{-4x^3}3+6x^2-5x\right]_1^2=\\\\=\left(\dfrac{-4\cdot2^3}3+6\cdot2^2-5\cdot2\right)-\left(\dfrac{-4\cdot1^3}3+6\cdot1^2-5\cdot1\right)=\\\\=-\dfrac{32}3+24-10+\dfrac43-6+5=\dfrac{-28}3+13=\boxed{\dfrac{11}3\text{ u.a.}}

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