Problema 1287

El 1 de enero de 2019 salió al mercado un nuevo modelo de un producto técnico de esquí. La función de tercer grado f(x)=10x^3-210x^2+1470x nos da el número total de unidades vendias, donde x denota el número de meses transcurridos, desde el lanzamiento del producto, durante el primer año (es decir, x∈ [0, 12]).

a) ¿Cuántas unidades se habían vendido al cabo de 3 meses? Cuántas se vendieron al cabo de un año? Determine la tasa de variación media entre los meses 3 y 12.
b) Compruebe que la función es creciente en el intervalo [0, 12] y encuentra en qué instante el crecimiento ha sido más lento.


Solución:

a) Al cabo de 3 meses se vendieron:

f(3)=10\cdot3^3-210\cdot3^2+1470\cdot3=2790

Al cabo de 12 meses:

f(12)=4680

La tasa de variación media entre ambos meses es:

TVM[3,12]=\dfrac{f(12)-f(3)}{12-3}=\dfrac{4680-2790}9=210


b) Estudiamos la monotonía de f. Comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=30x^2-420x+1470=0~;\\\\3x^2-42x+147=0

Ecuación cuya solución es x=7.
Con éste punto crítico y teniendo en cuenta el dominio, [0,12], estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,7)&(7,12)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

La función es creciente en el intervalo (0,12) y en x=7 se tiene el crecimiento más lento.

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