Problema 1288

El coste de elaboración de un menú en un restaurante es de 8 €. Se ha realizado un estudio de mercado y se ha llegado a la conclusión de que si el precio del menú es de 18 € entran a comer en el restaurante 120 clientes. También se ha concluido que la relación entre el precio del menú y el número de clientes es lineal, por lo que, por cada euro que aumentamos el precio del menú, disminuye en 4 el número de clientes. Y al revés, por cada euro que disminuimos el precio, aumenta en 4 el número de clientes.

a) Obtener la función que expresa el beneficio del restaurante en función del número de euros en que aumentamos o disminuimos el precio inicial del menú.
b) Busque en cuantos euros hay que aumentar o disminuir el precio inicial del menú para que el restaurante obtenga el máximo beneficio. ¿Cuál sería el precio final del menú y cuál sería el beneficio obtenido con este precio?


Solución:

a) La función número de clientes C en función del aumento del precio x es lineal:

C(x)=mx+n

Dado que el número de clientes es 120 si no variamos el precio (18€) y que el número de clientes es 116 si el precio aumenta 1€, entonces:

m=\dfrac{116-120}1=-4~;\\\\n=120-(-4)\cdot0=120

El número de clientes en función del precio del menú es: C(x)=-4x+120.

El beneficio es B=Ingresos-Gastos, que depende del número de clientes y del precio del menú (x+18). El ingreso en función de la variación del precio es

I(x)=C(x)\cdot(x+18)=(-4x+120)\cdot(x+18)=-4x^2+48x+2160

El gasto en función de la variación del precio es:

G(x)=C(x)\cdot8=(-4x+120)\cdot8=-32x+960

Luego, el beneficio es:

B(x)=(-4x^2+48x+2160)-(-32x+960)=\boxed{-4x^2+80x+1200}


b) Calculamos los puntos críticos de la función beneficios:

B'(x)=-8x+80=0~;\\\\x=10

Con el test de la derivada segunda comprobamos que en este punto se obtiene un máximo:

B''(x)=-8~;\\\\B''(10)=-8<0

Luego, para obtener el máximo beneficio habría que aumentar el precio del menú 10€. En ese caso, el precio final del menú sería 28€ y el beneficio obtenido sería de:

B(10)=-4\cdot10^2+80\cdot10+1200=1600

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