Problema 1289

Un fabricante de muebles de jardín fabrica sillas y mesas de madera de exterior. Cada silla le aporta un beneficio de 20 € y cada mesa uno de 25 €. Sabemos que cada mes puede producir como máximo un total de 120 muebles entre los dos productos. También sabemos que, como máximo, puede fabricar 100 sillas y que debe fabricar un mínimo de 10 mesas. Por otra parte, el número de sillas fabricadas debe ser igual o superior al triple de mesas fabricades.

a) Determinar la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible.
b) ¿Cuál es la producción mensual que le aporta el máximo beneficio una vez vendida? ¿Cuál es este beneficio?


Solución:

a) Sea x el número de sillas a fabricar, y sea y el número de mesas a fabricar.
La función objetivo es la función beneficio:

B(x,y)=20x+25y

En cuanto a las restricciones, cada mes se pueden fabricar hasta 120 muebles:

x+y\leq120

Como máximo se pueden fabricar 100 sillas:

x\leq100

y un mínimo de 10 mesas:

y\geq10

El número de sillas fabricadas debe ser mayor o igual al triple de las mesas:

x\geq3y

Junto con las restricciones de positividad formamos el sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}x+y\leq120\\x\leq100\\y\geq10\\x\geq3y\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

Escribimos las ecuaciones de las rectas, las representamos en una misma gráfica, así como la región factible:

\left\{\begin{array}{l}x+y=120\\x=100\\y=10\\x=3y\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p1289

La región factible es la zona sombreada que verifica todas las restricciones.


b) Calculamos los vértices de la región factible:

\begin{array}{lcl}A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=10\\x=3y\end{array}\right.&\rightarrow&A=(30,10)\\\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=120\\x=3y\end{array}\right.&\rightarrow&B=(90,30)\\\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=120\\x=100\end{array}\right.&\rightarrow&C=(100,20)\\\\D\rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=10\\x=100\end{array}\right.&\rightarrow&D=(100,10)\end{array}

Evaluamos la función beneficio, B(x,y)=20x+25y, en cada vértice:

A\rightarrow B(30,10)=20\cdot30+25\cdot10=850\\\\B\rightarrow B(90,30)=2550\\\\C\rightarrow B(100,20)=2500\\\\D\rightarrow B(100,10)=2250

La producción mensual que aporta mayor beneficio es de 2550€ produciendo 90 sillas y 30 mesas.

Deja un comentario