Problema 1290

Considerar las matrices A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}.

a) Comprobar que se cumple que A^{-1}=A^2.
b) Resolver la ecuación matricial AX+B=I, donde I es la matriz identidad de orden 2.


Solución:

a) Calculamos A^2:

A^2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}

Si A^2=A^{-1} entonces  A^2A=I:

A^2A=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I

Luego, A^2=A^{-1}.


b) Despejamos la matriz X de la ecuación matricial:

AX+B=I~;\\\\AX=I-B~;\\\\X=A^{-1}(I-B)~;\\\\X=A^2(I-B)

I-B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&-1\end{pmatrix}

X=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\-1&-1\end{pmatrix}

Cat-MCCSS-O-20-5A

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