Problema 1291

El beneficio de una empresa, expresado en millones de euros, es dado por la función siguiente, en la que x indica el número de años que han pasado desde que comenzó a funcionar:

B(x)=\dfrac{5x+20}{x^2+9}-\dfrac{20}9

a) ¿Cuál es el beneficio en el momento en que la empresa empieza a funcionar? En qué momento la empresa pasa de tener beneficios a tener pérdidas?
b) ¿En qué momento consigue la empresa el beneficio máximo? ¿Cuál es este beneficio máximo?


Solución:

a) En el momento en que la empresa empieza a funcionar (x=0), los beneficios son:

B(0)=\dfrac{20}9-\dfrac{20}9=0

Es decir, al principio la empresa no tiene beneficios ni pérdidas.
La empresa empieza a tener pérdidas cuando los beneficios pasan de ser positivos a ser negativos. Igualamos a 0 la función beneficios y resolvemos:

\dfrac{5x+20}{x^2+9}-\dfrac{20}9=0~;\\\\\dfrac{5x+20}{x^2+9}=\dfrac{20}9~;\\\\9(5x+20)=20(x^2+9)~;\\\\45x+180=20x^2+180~;\\\\20x^2-45x=0~;\\\\5x(4x-9)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=\frac94.
Estudiamos el signo de B(x) en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,\frac94)&(\frac94,+\infty)\\\hline\text{Signo }B(x)&+&-\\\hline\end{array}

Para x=\frac94=2.25 años, la empresa empieza a tener pérdidas.


b) Para obtener el máximo de la función beneficios, comenzamos calculando sus puntos críticos:

B'(x)=\dfrac{5(x^2+9)-(5x+20)2x}{(x^2+9)^2}=0~;\\\\5x^2+45-10x^2-40x=0~;\\\\-5x^2-40x+45=0~;\\\\-5(x^2+8x-9)=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=-9 y x=1. Descartamos la solución negativa y concluimos que el máximo beneficio se obtiene al cabo de 1 año (se puede demostrar utilizando el test de la derivada segunda). Dicho beneficio asciende a:

B(1)=\dfrac{5+20}{1^2+9}-\dfrac{20}9=\dfrac{25}{10}-\dfrac{20}9\approx2.78 millones de euros.

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