Problema 1293

Una empresa quiere fabricar un producto nuevo. Encomienda un estudio de mercado que determina que la evolución de las ventas en los próximos seis años seguirá la función f(t)=t^3-12t^2+36t, donde f(t) representa la cantidad de miles de unidades vendidas en función del tiempo t\in[0,6] expresado en años.

a) ¿Cuántas unidades venderá el primer año? Salvo el instante inicial (t = 0), ¿se prevé que habrá algún otro año en que no se producirá ninguna venta?
b) ¿En qué año se producirá el máximo número de ventas y cuántos productos se habrán vendido ese año?


Solución:

a) Las ventas en el primer año será de:

f(1)=1^3-12\cdot1^2+36\cdot1=25

25.000 unidades.
La empresa no producirá ninguna venta cuando f(t)=0:

0=t^3-12t^2+36t~;\\\\t(t^2-12t+36)=0~;\\\\t(t-6)^2=0

Además del instante inicial, la empresa no producirá ninguna venta el sexto año (t=6).


b) Para obtener el máximo valor de f calculamos sus puntos críticos:

f'(t)=3t^2-24t+36=0~;\\\\3(t^2-8t+12)=0~;\\\\3(t-2)(t-6)=0

Ecuación cuyas soluciones son t=2, t=6. Para caracterizar estos puntos críticos utilizamos el test de la derivada segunda:

f''(t)=6t-24~;\\\\\bullet~f''(2)=12-24=-12<0\\\bullet~f''(6)=36-24=12>0

El máximo número de ventas se obtiene para t=2 años. El número de ventas producidas en ese momento es:

f(2)=2^3-12\cdot2^2+36\cdot2=32

es decir, 32.000 ventas.

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