Problema 1294

Una fábrica especializada en ropa de deporte tiene problemas con el suministro de las fibras. Para satisfacer un pedido de camisetas y mallas sólo dispone de 90 km de fibra de polipropileno, 3,2 km de fibra de poliamida y 6,8 km de fibra de elastano. Debe fabricar, como mínimo, 80 camisetas y 50 mallas.
Para fabricar cada pieza de ropa, tanto si es una camiseta como si son unas mallas, se necesitan en total 200 metros de fibra, de los cuales el 90% son de polipropileno en ambos casos. En la composición de las camisetas hay, además, un 6% de poliamida y un 4% de elastano, y en la composición de las mallas hay un 2% de poliamida y un 8% de elastano.
El beneficio que el fabricante obtiene por cada camiseta que fabrica es de 5 € y por cada una de las mallas obtiene un beneficio de 3 € .

a) Determine la función objetivo y las restricciones, y dibuje la región de las posibles opciones que tiene el fabricante para satisfacer el pedido con las fibras disponibles.
b) Calcular cuántas camisetas y cuántas mallas deben fabricarse para que el beneficio sea máximo. ¿Cuál es este beneficio?


Solución:

a) Sea x el «número de camisetas» y sea y el «número de mallas» que se deben fabricar.
Dado que en el apartado b) se pide maximizar el beneficio, esa es la función objetivo. El beneficio es de 5€ por cada camiseta y de 3€ por cada malla:

B(x,y)=5x+3y

En la siguiente tabla se indica los metros de cada fibra que necesita cada prenda:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline&\text{Camiseta}&\text{Malla}\\\hline\text{Polipropileno}&90\%\cdot200=180&180\\\hline\text{Poliamida}&12&4\\\hline\text{Elastano}&8&16\\\hline\end{array}

Se dispone de 90 km de fibra de polipropileno, 3,2 km de fibra de poliamida y 6,8 km de fibra de elastano:

180x+180y\leq90000\\\\12x+4y\leq3200\\\\8x+16y\leq6800

Se debe fabricar, como mínimo, 80 camisetas y 50 mallas:

x\geq80\\\\ y\geq50

Reunimos todas las restricciones en el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}180x+180y\leq90000\\12x+4y\leq3200\\8x+16y\leq6800\\x\geq80\\ y\geq50\end{array}\right.

A partir de estas inecuaciones escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos en una misma gráfica:

\left\{\begin{array}{l}180x+180y=90000\\12x+4y=3200\\8x+16y=6800\\x=80\\ y=50\end{array}\right.

p1294


b) Calculamos los vértices de la región factible:

\begin{array}{lcl}A:~\left\{\begin{array}{l}x=80\\y=50\end{array}\right.&\rightarrow&A=(80,50)\\\\B:~\left\{\begin{array}{l}x=80\\8x+16y=6800\end{array}\right.&\rightarrow&B=(80,385)\\\\C:~\left\{\begin{array}{l}12x+4y=3200\\180x+180y=90000\\8x+16y=6800\end{array}\right.&\rightarrow&C=(150,350)\\\\D:~\left\{\begin{array}{l}12x+4y=3200\\y=50\end{array}\right.&\rightarrow&D=(250,50)\end{array}

Evaluamos la función beneficio B(x,y)=5x+3y en cada vértice:

A\rightarrow B(80,50)=550\\\\B\rightarrow B(80,385)=1555\\\\C\rightarrow B(150,350)=1800\\\\D\rightarrow B(250,50)=1400

La función objetivo se hace máxima en el vértice C.
Para obtener el máximo beneficio se deben fabricar 150 camisetas y 350 mallas, obteniéndose así un beneficio de 1800€.

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