Problema 1295

Considere la función f(x)=ax^4+bx^2+c

a) Hallar los valores de los parámetros a, b y c sabiendo que la función tiene un máximo en el punto (2, 1) y un mínimo en el punto (0, -1).
b) Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función para los valores de los parámetros a, b y c encontrados en el apartado anterior.


Solución:

a) La función tiene un máximo en el punto (2,1):

\bullet~f(2)=1\\\bullet~f'(2)=0

Y tiene un mínimo en (0,-1):

\bullet~f(0)=-1\\\bullet~f'(0)=0

Sabemos que:

f(x)=ax^4+bx^2+c\\f'(x)=4ax^3+2bx

Sustituimos los datos anteriores:

f(2)=a\cdot2^4+b\cdot2^2+c=16a+4b+c=1\\f'(2)=4a\cdot2^3+2b\cdot2=32a+4b=0\\f(0)=c=-1\\f'(0)=0=0

Formamos un sistema:

\left\{\begin{array}{l}16a+4b+c=1\\32a+4b=0\\c=-1\end{array}\right.

cuya solución es a=\frac{-1}8,~b=1,~c=-1.
Utilizando el test de la derivada segunda podemos demostrar que en x=2 hay un máximo:

f''(x)=12ax^2+2b=-\dfrac32x^2+2~;\\\\f''(2)=-6+2=-4<0\qquad\text{es un m\'aximo}

También podemos demostrar que hay un mínimo en x=0:

f''(0)=2>0


b) Tenemos la función f(x)=\dfrac{-x^4}8+x^2-1 cuyo dominio es \mathbb R. Calculamos sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{-x^3}2+2x=0~;\\\\\dfrac{x^3}2=2x~;\\\\x^3=4x~;\\\\x^3-4x=0~;\\\\x(x^2-4)=0~;\\\\x(x-2)(x+2)=0

Tenemos tres puntos críticos en x=-2,~x=0,~x=2. Estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-2)&(-2,0)&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • Crece en x\in(-\infty,-2)\cup(0,2)
  • Decrece en x\in(-2,0)\cup(2,+\infty)

Cat-MCCSS-O-20-4B

Deja un comentario