Problema 1296

En una empresa de tecnología hay un total de 100 empleados divididos en tres secciones: administración, investigación y publicidad. Todos los empleados de cada sección cobran el mismo sueldo mensual: 2.000 euros los de administración, 2.400 euros los de investigación y 2.800 euros los de publicidad, y el gasto total mensual en salarios de la empresa es de 228.000 euros.

a) Plantee y estudiar el sistema de ecuaciones asociado. Justifique si se puede determinar el número de empleados de cada sección.
b) Una reestructuración reciente ha obligado a despedir \frac1{10} de los empleados de administración, \frac16 de los de investigación y \frac15 de los de publicidad. Este hecho ha significado un ahorro mensual en salarios de 33.200 euros. Determine cuántos empleados tenía cada sección de la empresa antes de la reestructuración.


Solución:

a) Sea x el número de empleados de administración, sea y el número de empleados de investigación y sea z el número de empleados de publicidad.
En total hay 100 empleados:

x+y+z=100

El gasto total en sueldos es de 228000€:

2000x+2400y+2800z=228000~;\\\\20x+24y+28z=2280~;\\\\5x+6y+7z=570

El sistema que obtenemos:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=100\\5x+6y+7z&=570\end{array}\right.

Escribimos las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&1&1\\5&6&7\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&1&100\\5&6&7&570\end{pmatrix}

El rango de la matriz de coeficientes y ampliada son iguales a 2 ya que:

\begin{vmatrix}1&1\\5&6\end{vmatrix}=1

Al ser el número de variables 3, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado, es decir, hay más de una solución y no podemos asegurar cuál es el número de empleados de cada sección.


b) Una reestructuración reciente ha obligado a despedir \frac1{10} de los empleados de administración, \frac16 de los de investigación y \frac15 de los de publicidad. Este hecho ha significado un ahorro mensual en salarios de 33.200 euros:

\dfrac{2000}{10}x+\dfrac{2400}6y+\dfrac{2800}5z=33200~;\\\\200x+400y+560z=33200~;\\\\20x+40y+56z=3320~;\\\\5x+10y+14z=830

Junto con las otras dos ecuaciones del apartado a), formamos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=100\\5x+6y+7z&=570\\5x+10y+14z&=830\end{array}\right.

Si a la tercera ecuación le restamos la segunda:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=100\\5x+6y+7z&=570\\4y+7z&=260\end{array}\right.

Si a la segunda ecuación le restamos 5 veces la primera:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=100\\y+2z&=70\\4y+7z&=260\end{array}\right.

Si a la tercera ecuación le restamos 4 veces la segunda:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=100\\y+2z&=70\\-z&=-20\end{array}\right.

De la tercera ecuación obtenemos z=20. Sustituyendo en la segunda:

y=70-2\cdot20=30

Y sustituyendo en la primera:

x=100-30-20=50

Antes de la reestructuración habían 50 empleados en administración, 30 en investigación y 20 en publicidad.

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