Problema 1297

Un centro de formación organiza un curso subvencionado que tiene un coste fijo de 9.000 €, al que hay que sumar una cantidad que varía según el número de alumnos del curso y que es dada por la función 0.02x^3-24x, donde x representa el número de alumnos matriculados. El Consejo Comarcal ha otorgado al centro una subvención de 5.000 € para la organización del curso y el Ayuntamiento paga el centro 30 € por cada alumno matriculado.
El gasto que debe asumir el centro es la diferencia entre el coste total del curso y las dos subvenciones recibidas. ¿Cuántos alumnos deben matricularse en el curso para que el gasto sea mínimo para el centro y cuál sería este gasto?


Solución:

El coste C del curso es:

C(x)=9000+(0.02x^3-24x)

Las subvenciones S recibidas son:

S(x)=5000+30x

El gasto G que asumirá el centro es:

G(x)=C(x)-S(x)~;\\\\G(x)=0.02x^3-24x+9000-(5000+30x)=0.02x^3-54x+4000

Calculamos los puntos críticos de G:

G'(x)=0.06x^2-54=0~;\\\\x^2=900~;\\\\x=\pm30

Descartamos el resultado negativo y utilizamos el test de la derivada segunda para caracterizar el punto crítico x=30:

G''(x)=0.12x~;\\\\G''(30)=0.12\cdot30>0

Luego, para x=30 alumnos el gasto es mínimo. El valor del gasto es:

G(30)=0.02\cdot30^3-54\cdot30+4000=2920

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