Problema 1298

Para fertilizar una parcela de cultivo se utilizan dos tipos de fertilizantes, A y B. El cultivo de la parcela necesita un mínimo de 120 kilos de nitrógeno y 110 kilos de fósforo. El fertilizante A contiene un 25% de nitrógeno y un 15% de fósforo, siendo su precio de 1,2 euros el kilo, mientras que el fertilizante B contiene un 16% de nitrógeno y un 40% de fósforo y cuesta 1,6 euros el kilo.

a) ¿Qué cantidad se necesita de cada tipo de fertilizante para que el coste de la fertilización resulte mínimo?
b) ¿Cuál es este coste mínimo?


Solución:

a) Sea x los kilos del fertilizante A e y los kilos de fertilizante B que se necesitan.
Se necesita un mínimo de 120 kilos de nitrógeno:

0.25x+0.16y\geq120

Se necesita un mínimo de 110 kilos de fósforo:

0.15x+0.4y\geq110

Junto con las restricciones de positividad formamos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}0.25x+0.16y\geq120\\0.15x+0.4y\geq110\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

Escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos en la siguiente gráfica:

\left\{\begin{array}{l}0.25x+0.16y=120\\0.15x+0.4y=110\\x=0\\y=0\end{array}\right.

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La región factible es la zona sombreada. Calculamos los vértices:

\begin{array}{lcl}A:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\0.25x+0.16y=120\end{array}\right.&\rightarrow&A=(0,750)\\\\B:~\left\{\begin{array}{l}0.15x+0.4y=110\\0.25x+0.16y=120\end{array}\right.&\rightarrow&B=(400,125)\\\\C:~\left\{\begin{array}{l}0.15x+0.4y=110\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow&C=(733.3,0)\end{array}

El fertilizante A tiene un precio de 1.2 €/kg y el fertilizante B tiene un precio de 1.6 €/kg. La función coste C es:

C(x,y)=1.2x+1.6y

Evaluamos la función coste en cada vértice:

A\qquad\rightarrow\qquad C(0,750)=1.2\cdot0+1.6\cdot750=1200\\\\B\qquad\rightarrow\qquad C(400,125)=680\\\\C\qquad\rightarrow\qquad C(733.3,0)=880

El coste se hace mínimo en el vértice B, es decir, comprando 400 kilos del fertilizante A y 125 kilos del fertilizante B.


b) El coste mínimo es 680 €.

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