Problema 1299

Dada la función f(x)=\dfrac{2x^2-3x+5}{x^2-1}, se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Los máximos y mínimos locales.
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados de los apartados anteriores.


Solución:

a) El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador:

x^2-1=0\\\\x=\pm1

Luego \text{Dom }f=\mathbb R\setminus\{-1,1\}.

  • Puntos de corte con eje x (f(x)=0):
    \dfrac{2x^2-3x+5}{x^2-1}=0~;\\\\2x^2-3x+5=0
    Ecuación de segundo grado sin soluciones reales, luego, f no corta al eje x.
  • Punto de corte con eje y (x=0):
    y=\dfrac{2\cdot0^2-3\cdot0+5}{0^2-1}=-5
    f corta al eje y en el punto (0,-5).

b) Calculamos si existen las asíntotas verticales:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^+}\dfrac{2x^2-3x+5}{x^2-1}=\dfrac{10}{0^-}=-\infty\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^-}\dfrac{2x^2-3x+5}{x^2-1}=\dfrac{10}{0^+}=+\infty\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac{2x^2-3x+5}{x^2-1}=\dfrac4{0^+}=+\infty\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^-}\dfrac{2x^2-3x+5}{x^2-1}=\dfrac4{0^-}=-\infty

f presenta asíntotas verticales de ecuaciones x=-1, x=1.

Calculamos si existe asíntota horizontal:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x^2-3x+5}{x^2-1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x^2}{x^2}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2}{1}=2

f presenta una asíntota horizontal de ecuación y=2.


c) Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{(4x-3)(x^2-1)-(2x^2-3x+5)(2x)}{(x^2-1)^2}=0~;\\\\4x^3-4x-3x^2+3-4x^3+6x^2-10x=0~;\\\\3x^2-14x+3=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=\frac{7\pm2\sqrt{10}}3, aproximadamente en x=0.225,~x=4.442.
Teniendo en cuenta el dominio de f y sus puntos críticos, estudiamos su monotonía en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,0.225)&(0.225,1)&(1,4.442)&(4.442,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&+&-&-&+\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • Crece en x\in(-\infty,-1)\cup(-1,0.225)\cup(4.442,+\infty)
  • Decrece en x\in(0.225,1)\cup(1,4.442)

d) Existe un máximo local en (x=0.225,~y=f(0.225)=-4.66), y un mínimo local en (x=4.442,~y=f(4.442)=1.66).


e) Con los datos obtenidos en los apartados anteriores podemos esbozar una gráfica semejante a la siguiente:

p1299

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