Problema 1300

Si un habitante de la ciudad de Megalópolis es portador del anticuerpo A, entonces 2 veces de cada 5 es portador del anticuerpo B. Por el contrario, si no es portador del anticuerpo A, entonces 4 veces de cada 5 no es portador del anticuerpo B. Si sabemos que la mitad de la población es portadora del anticuerpo A, calcula:

a) La probabilidad de que un habitante de Megalópolis sea portador del anticuerpo B.
b) La probabilidad de que si un habitante de Megalópolis es portador del anticuerpo B lo sea también del anticuerpo A.
c) La probabilidad de que si un habitante de Megalópolis no es portador del anticuerpo B, tampoco lo sea del anticuerpo A.
d) La probabilidad de que un habitante de Megalópolis sea portador del anticuerpo A y no lo sea del anticuerpo B.


Solución:

Sea A el suceso «ser portador del anticuerpo A» y sea B el suceso «ser portador del anticuerpo B». Conocemos las siguientes probabilidades:

  • P[B/A]=\frac25
  • P[\overline B/\overline A]=\frac45
  • P[A]=\frac12

a) Nos piden la probabilidad P[B]. Sabemos que:

P[\overline B/\overline A]=\dfrac{P[\overline A\cap\overline B]}{P[\overline A]}=\dfrac45~;\\\\P[\overline A\cap\overline B]=\dfrac45\cdot(1-P[A])=\dfrac25

Utilizando una de las leyes de Morgan:

P[\overline{A\cup B}]=P[\overline A\cap\overline B]=\dfrac25

de donde:

P[A\cup B]=1-P[\overline{A\cup B}]=\dfrac35

Utilizando la fórmula de la unión:

P[A\cup B]=P[A]+P[B]-P[A\cap B]~;\\\\\dfrac35=\dfrac12+P[B]-P[A]\cdot P[B/A]~;\\\\P[B]=\dfrac35-\dfrac12+\dfrac12\cdot\dfrac25=\boxed{\dfrac3{10}}


b) Nos piden la probabilidad P[A/B]:

P[A/B]=\dfrac{P[A]\cdot P[B/A]}{P[B]}=\dfrac{\frac12\cdot\frac25}{\frac3{10}}=\boxed{\dfrac23}


c) Nos piden la probabilidad P[\overline A/\overline B]. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[\overline A/\overline B]=\dfrac{P[\overline A]\cdot P[\overline B/\overline A]}{P[\overline B]}=\dfrac{(1-P[A])\cdot P[\overline B/\overline A]}{1-P[B]}=\\\\=\dfrac{(1-\frac12)\cdot\frac45}{1-\frac3{10}}=\dfrac{\frac25}{\frac7{10}}=\boxed{\dfrac47}


d) Nos piden la probabilidad P[A\cap\overline B]:

P[A\cap\overline B]=P[A]-P[A\cap B]=P[A]-P[A]\cdot P[B/A]=\\\\=\dfrac12-\dfrac12\cdot\dfrac25=\boxed{\dfrac3{10}}

Val-MCCSS-O-20-P3

Deja un comentario