Problema 1301

Dadas las matrices A=\begin{pmatrix}2&5\\1&2\end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}, se pide:

a) Halla la matriz inversa de A.
b) Explica por qué la matriz B no tiene inversa.
c) Razona por qué la matriz AB no tiene inversa.
d) Resuelve la ecuación matricial AB-X=BA.


Solución:

a) La matriz inversa de A es:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj }A)^t}

|A|=\begin{vmatrix}2&5\\1&2\end{vmatrix}=4-5=-1\\\\\text{Adj }A=\begin{pmatrix}2&-1\\-5&2\end{pmatrix}

Luego:

A^{-1}=\dfrac1{-1}\cdot\begin{pmatrix}2&-5\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&5\\1&-2\end{pmatrix}


b) Una matriz cuadrada no tiene inversa si su determinante es 0.

|B|=\begin{vmatrix}2&4\\1&2\end{vmatrix}=4-4=0

Luego B no tiene inversa.


c) Según la propiedad 3 de los determinantes:

|AB|=|A|\cdot|B|=-1\cdot0=0

Luego AB no tiene inversa.


d) Despejamos la matriz X:

X=AB-BA~;\\\\X=\begin{pmatrix}2&5\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&5\\1&2\end{pmatrix}~;\\\\X=\begin{pmatrix}9&18\\4&8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8&18\\4&9\end{pmatrix}~;\\\\\boxed{X=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

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