Problema 1302

Una empresa farmacéutica lanza al mercado un nuevo fármaco que se distribuye en cajas de seis unidades. La relación entre el precio de cada caja y el beneficio mensual obtenido en euros viene dada por la función

B(x)=-x^2+16x-55

donde x es el precio de venta de una caja. Se pide:

a) ¿Qué beneficio obtiene cuando vende cada caja a 6 euros?
b) ¿Entre qué valores debe fijar el precio de venta de cada caja para obtener beneficios?
c) Calcula a qué precio ha de vender cada caja para que el beneficio sea máximo. ¿Cuál es el beneficio máximo?
d) ¿Entre qué valores el beneficio crece y entre qué valores el beneficio decrece?


Solución:

a) Cuando el precio de venta es de 6 euros, el beneficio es:

B(6)=-6^2+16\cdot6-55=5


b) Calculamos los puntos donde se anulan los beneficios:

-x^2+16x-55=0

Ecuación de segundo grado que se anula en x=5,~x=11. Dados estos puntos estudiamos el signo de B en los siguientes tramos:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline&(0,5)&(5,11)&(11,\infty)\\\hline\text{Signo }B&-&+&-\\\hline\end{array}

Para obtener beneficios positivos, la empresa debe poner un precio de entre 5 y 11 euros.


c) Calculamos los puntos críticos de B:

B'(x)=-2x+16=0~;\\\\x=8

Estudiamos la monotonía de B para caracterizar el punto crítico:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline&(0,8)&(8,+\infty)\\\hline\text{Signo }B'(x)&+&-\\\hline\text{Monoton\'ia }B(x)&\text{Crece}&\text{Decrece}\\\hline\end{array}

Para un precio de 8 euros el beneficio es máximo y asciende a:

B(8)=-8^2+16\cdot8-55=9


d) La función beneficio B es creciente en el intervalo (0,8) y es decreciente para x>8.

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