Problema 1304

Dadas las matrices:

A=\begin{pmatrix}2&3&2\\-1&0&-1\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix}2&0\\-1&-2\\-1&-1\end{pmatrix}\quad C=\begin{pmatrix}1&-2\\2&1\\1&3\end{pmatrix}\quad D=\begin{pmatrix}2&0&-1\\1&1&0\\3&-1&0\end{pmatrix}

a) ¿Es posible calcular (BA)^2? Si es así, calcularla; si no se puede, razonar por qué.
b) Encontrar, si existe, una matriz X , que verifique 2X+3B=2C.
c) Calcular, si existe, la matriz inversa de D.


Solución:

a) B es una matriz 3×2 y A es una matriz 2×3 por lo que se puede calcular el producto BA, que es una matriz cuadrada 3×3. También se puede calcular el cuadrado de BA:

BA=\begin{pmatrix}2&0\\-1&-2\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3&2\\-1&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&6&4\\0&-3&0\\-1&-3&-1\end{pmatrix}


b) Despejamos la matriz X:

2X+3B=2C~;\\\\2X=2C-3B~;\\\\X=\dfrac12\cdot(2C-3B)

2C-3B=2\begin{pmatrix}1&-2\\2&1\\1&3\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}2&0\\-1&-2\\-1&-1\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}2&-4\\4&2\\2&6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6&0\\-3&-6\\-3&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&-4\\7&8\\5&9\end{pmatrix}

X=\dfrac12\cdot\begin{pmatrix}-4&-4\\7&8\\5&9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&-2\\7/2&4\\5/2&9/2\end{pmatrix}


c) La matriz inversa de D es:

\boxed{D^{-1}=\dfrac1{|D|}\cdot(\text{Adj }D)^t}

|D|=\begin{vmatrix}2&0&-1\\1&1&0\\3&-1&0\end{vmatrix}=1+3=4

\text{Adj }D=\begin{pmatrix}0&0&-4\\1&3&2\\1&-1&2\end{pmatrix}

D^{-1}=\dfrac14\cdot\begin{pmatrix}0&1&1\\0&3&-1\\-4&2&2\end{pmatrix}

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