Problema 1305

Una modista está organizando su trabajo para el próximo mes. Puede hacer vestidos de fiesta y vestidos de calle. Cada vestido de fiesta necesita 3 metros de tela y lleva 6 horas de trabajo, mientras que cada vestido de calle necesita 1 metro de tela y lleva 4 horas de trabajo. La modista dispone, como máximo, de 36 metros de tela y 120 horas de trabajo, y no quiere hacer más vestidos de fiesta que de calle. Por cada vestido de fiesta, obtiene un beneficio de 100 euros, mientras que por cada vestido de calle obtiene un beneficio de 65 euros.
Plantear y resolver un problema de programación lineal para determinar cuántos vestidos de cada tipo tiene que hacer para maximizar su beneficio. ¿Cuál será el beneficio en ese caso?


Solución:

Sea x el número de vestidos de fiesta y sea y el número de vestidos de calle que se deben hacer.
Se dispone de un máximo de 36 metros de tela:

3x+y\leq36

Se dispone de 120 horas de trabajo:

6x+4y\leq120

No quiere hacer más vestidos de fiesta que de calle:

x\leq y

Recogemos éstas restricciones junto con las restricciones de positividad en el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}3x+y\leq36\\6x+4y\leq120\\x\leq y\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

A partir de este sistema escribimos las ecuaciones de las rectas y representamos la región factible:

\left\{\begin{array}{l}3x+y=36\\6x+4y=120\\x=y\\x=0\\y=0\end{array}\right.

Calculamos los vértices de la región factible:

\begin{array}{lcl}A:~\left\{\begin{array}{l}x=y\\x=0\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow&A=(0,0)\\\\B:~\left\{\begin{array}{l}6x+4y=120\\x=0\end{array}\right.&\rightarrow&B=(0,30)\\\\C:~\left\{\begin{array}{l}6x+4y=120\\3x+y=36\end{array}\right.&\rightarrow&C=(4,24)\\\\D:~\left\{\begin{array}{l}x=y\\3x+y=36\end{array}\right.&\rightarrow&D=(9,9)\end{array}

Por cada vestido de fiesta, obtiene un beneficio de 100 euros, mientras que por cada vestido de calle obtiene un beneficio de 65 euros. Tenemos así la función objetivo:

f(x,y)=100x+65y

Para obtener la producción que maximiza los beneficios, evaluamos la función beneficio f en cada vértice:

A\rightarrow f(0,0)=100\cdot0+65\cdot0=0\\\\B\rightarrow f(0,30)=1950\\\\C\rightarrow f(4,24)=1960\\\\D\rightarrow f(9,9)=1485

La función beneficio se hace máxima en el vértice C. Haciendo 4 vestidos de fiesta y 24 vestidos de calle se obtendría un beneficio de 1960€.

Ara-MCCSS-O-20-P2

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