Problema 1307

El coste unitario de fabricación de un producto (en euros) depende del tamaño de la producción a través de la siguiente fórmula:

C(x)=\dfrac1{10}(x^2-16x+100)

donde x\in[2,15] es el tamaño de la producción (en miles de unidades) y C es el coste unitario (en euros). Calcular:

a) Si se producen 5000 unidades, ¿cuánto vale el coste unitario?
b) ¿Para qué valores del tamaño de la producción x\in[2,15] el coste unitario es inferior a 4 euros?
c) ¿Para qué tamaño de la producción x\in[2,15] se alcanza el coste unitario mínimo? ¿Y el máximo? ¿Cuánto valen estos costes?


Solución:

a) Producir 5000 unidades significa x=5. En este caso, el coste unitario es:

C(5)=\dfrac1{10}(5^2-16\cdot5+100)=4.5

El coste unitario de fabricación es de 4.5 €.


b) Igualamos el coste de fabricación a 4 y resolvemos:

\dfrac1{10}(x^2-16x+100)=4~;\\\\x^2-16x+100=40~;\\\\x^2-16x+60=0

Ecuación cuyas soluciones son x=6 y x=10.
En cada intervalo comparamos C con el valor 4:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&[2,6)&(6,10)&(10,15]\\\hline C(x)<4&\text{No}&\text{S\'i}&\text{No}\\\hline\end{array}

Con una producción de entre 6000 y 10000 unidades el coste es inferior a 4 €.


c) Calculamos los puntos críticos de C:

C'(x)=\dfrac1{10}(2x-16)=0~;\\\\x=8

Estudiamos la monotonía de C para caracterizar el punto crítico:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(2,8)&(8,15)\\\hline\text{Signo }C'(x)&-&+\\\hline\text{Monoton\'ia }C(x)&\text{Decrece}&\text{Crece}\\\hline\end{array}

Con una producción de 8000 unidades tenemos coste unitario mínimo de valor C(8)=3.6 €.
Evaluamos el coste en los extremos:

\bullet~C(2)=7.2\\\bullet~C(15)=8.5

El coste unitario máximo es 8.5 € con una producción de 15000 unidades.

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