Problema 1308

En el curso de primero de Bachillerato de un centro educativo se ha hecho una encuesta sobre el destino del viaje de estudios con dos opciones: Londres y París. El curso está compuesto por tres clases: A, B y C. La clase A tiene 28 estudiantes, de los cuales 12 han votado por Londres y el resto por París; en la clase B, que tiene 25 estudiantes, 10 han votado por Londres y el resto por París; en la clase C, con 23 estudiantes, 18 han votado por Londres y el resto por París.

a) Si elegimos al azar un estudiante del curso, ¿cuál es la probabilidad de que haya votado por Londres?
b) Si elegimos al azar un estudiante de entre los que han votado por Londres, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la clase B?
c) Si elegimos al azar (sin reemplazamiento) dos estudiantes del curso, ¿cuál es la probabilidad de que los dos hayan votado por Londres?
d) Si elegimos al azar (sin reemplazamiento) tres estudiantes del curso, ¿cuál es la probabilidad de que sea uno de cada clase?


Solución:

Sea A, B, C los sucesos «ser alumnos de las clases A, B y C respectivamente», sea Lo el suceso «votar por Londres y sea Pa el suceso «votar por París».
Entre las tres clases hay un total de 76 alumnos. Expresamos las probabilidades que se deducen del enunciado en el siguiente diagrama de árbol:

a) Nos piden la probabilidad total P[Lo]:

P[Lo]=P[A]\cdot P[Lo/A]+P[B]\cdot P[Lo/B]+P[C]\cdot P[Lo/C]=\\\\=\dfrac{28}{76}\cdot\dfrac{12}{28}+\dfrac{25}{76}\cdot\dfrac{10}{25}+\dfrac{23}{76}\cdot\dfrac{18}{23}=\dfrac{12}{76}+\dfrac{10}{76}+\dfrac{18}{76}=\dfrac{40}{76}=\boxed{\dfrac{10}{17}}


b) Nos piden la probabilidad condicionada P[B/Lo]. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[B/Lo]=\dfrac{P[B]\cdot P[Lo/B]}{P[Lo]}=\dfrac{\frac{25}{76}\cdot\frac{10}{25}}{\frac{40}{76}}=\dfrac{10}{40}=\boxed{\dfrac14}


c) Si no tenemos en cuenta la clase de los alumnos elegidos, representamos en el siguiente diagrama de árbol las probabilidades de elegir a alumnos según hayan votado por Londres o París sin reemplazamiento, sabiendo que 40 de los 76 alumnos votaron por Londres y que el resto votó por París:

Escogidos dos alumnos al azar, sin reemplazamiento, la probabilidad de que los dos voten por Londres es:

P[Lo\cap Lo]=\dfrac{40}{76}\cdot\dfrac{39}{75}=\boxed{0.2737}


d) Si se eligen tres alumnos al azar, si estos no son de la misma clase, estos pueden haber sido elegidos en 6 diferentes órdenes:

ABC,~ACB,~BAC,~BCA,~CAB,~CBA

La probabilidad de que ocurra cada uno de estos sucesos elementales es:

p=\dfrac{28}{76}\cdot\dfrac{25}{75}\cdot\dfrac{23}{74}=0.03817

Multiplicando por 6 obtenemos la probabilidad \boxed{0.229}. Dicho de otro modo, si elegimos a tres alumnos al azar, hay un 22.9% de probabilidad de que los tres alumnos no sean de la misma clase.

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