Problema 1309

Se sabe que la altura de los estudiantes que se presentan a la EVAU tiene distribución normal con desviación típica igual a 10 cm. Queremos construir un intervalo de confianza para la media de la altura de los estudiantes.

a) Determinar el tamaño de la muestra para que el intervalo de confianza del 97% tenga una amplitud menor o igual que 4 cm.
b) Decidimos tomar una muestra de tamaño 9. Medimos a los estudiantes y tenemos los siguientes resultados en cm:

175, 187, 183, 162, 161, 164, 180, 171, 158

Calcular un intervalo de confianza al 97% para la media de la altura de los estudiantes que se presentan a la EVAU.
c) Calcular la varianza de la muestra del apartado b).


Solución:

a) Para un nivel de confianza del 97% tenemos p=\dfrac{1+0.97}2=0.985. Buscando en la tabla de probabilidades tenemos que z_{\alpha/2}=2.17.
Dado que el error máximo es la mitad de la amplitud, E=2, y que la desviación típica es \sigma=10, el tamaño de la muestra es:

n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2=\left(2.17\cdot\dfrac{10}2\right)^2=117.7

El tamaño de la muestra ha de ser de 118 estudiantes.


b) La media muestral vale:

\overline x=\dfrac{\sum x_i}{n}=\dfrac{1541}9=171.22

El error máximo vale:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=2.17\cdot\dfrac{10}{\sqrt9}=7.23

El intervalo de confianza es:

(\overline x-E,\overline x+E)=(164,178.5)


c) En la muestra la varianza vale:

\sigma^2=\dfrac{\sum x_i^2}N-\overline x^2=\dfrac{264749}9-171.22^2=100.27

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