Problema 1310

En una oficina se hicieron la semana pasada un total de 550 fotocopias entre fotocopias en blanco y negro y fotocopias en color. El coste total de dichas fotocopias fue de 3.5 euros, siendo el coste de cada fotocopia en blanco y negro de m céntimos de euro, y el coste de cada fotocopia en color cuatro veces el coste de una en blanco y negro.

a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y sean el número de fotocopias en blanco y negro y en color hechas la semana pasada.
b) ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? ¿Cuántas fotocopias en blanco y negro se realizaron en la oficina si cada fotocopia en color costó 2 céntimos?


Solución:

a) Siendo x el número de fotocopias B/N e y el número de fotocopias en color, en total se han hecho 550 fotocopias:

x+y=550

El coste total de las fotocopias ha sido 3.5 euros o 350 céntimos:

mx+4my=350

El sistema resultante es:

\left\{\begin{array}{rl}x+y&=550\\mx+4my&=350\end{array}\right.


b) Resolvemos el sistema anterior por reducción. Multiplicamos la primera ecuación por m:

\left\{\begin{array}{rl}mx+my&=550m\\mx+4my&=350\end{array}\right.

A la segunda ecuación le restamos la primera y obtenemos:

3my=350-550m~;\\\\y=\dfrac{350-550m}{3m}

y, dado que x=550-y, tenemos que:

x=550-\dfrac{350-550m}{3m}~;\\\\x=\dfrac{-350+2200m}{3m}

El sistema no tiene solución si m=0. Si m\neq0 el sistema tiene solución única para cada m.
Si 4m=2, entonces m=0.5 y se han hecho:

x=\dfrac{-350+2200\cdot0.5}{3\cdot0.5}=500\text{ fococopias B/N}\\\\y=\dfrac{350-550\cdot0.5}{3\cdot0.5}=50\text{ fococopias color}

Ast-MCCSS-O-20-1A

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