Problema 1311

En un local que se destinará a restaurante, se está pensando en poner mesas altas y bajas. Las mesas altas necesitan una superficie de 2 m² cada una, mientras que las mesas bajas necesitan una superficie de 4 m² cada una. El local dedicará a mesas como mucho una superficie de 120 m². El propietario quiere que haya al menos 5 mesas bajas y como mucho el doble de mesas altas que bajas.

a) ¿Cuántas mesas puede haber en el restaurante de cada tipo? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podrá haber 15 mesas de cada tipo?
b) Por estudios de mercado, se estima que el beneficio que dejan los clientes por mesa alta es de 20 euros, mientras que el beneficio por mesa baja es de 25 euros. ¿Cuántas mesas de cada tipo debe colocar para maximizar los beneficios estimados? ¿a cuánto ascenderían dichos beneficios?


Solución:

a) Sea x el número de mesas altas y sea y el número de mesas bajas.
El local dedica un máximo de 120 m² a las mesas:

2x+4y\leq120\quad\rightarrow\quad x+2y\leq60

Debe haber al menos 5 mesas bajas:

y\geq5

y como mucho el doble de mesas altas que bajas:

x\leq2y

Unimos todas las restricciones y las restricciones de positividad en el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}x+2y\leq60\\y\geq5\\x\leq2y\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

El conjunto de mesas altas y bajas que pueden haber en el restaurante son el conjunto de valores (x,y) que verifiquen todas las inecuaciones anteriores. Pueden haber x=15 mesas altas e y=15 mesas bajas ya que se verifican todas las inecuaciones.

Escribimos las ecuaciones de las rectas, las representamos y definimos la región factible así como sus vértices:

\left\{\begin{array}{l}x+2y=60\\y=5\\x=2y\\x=0\\y=0\end{array}\right.


b) La función beneficio es:

f(x,y)=20x+25y

La función beneficio obtiene su máximo en alguno de los vértices de la región factible. Calculamos dichos vértices:

\begin{array}{lcl}A:~\left\{\begin{array}{l}x+2y=60\\x=0\end{array}\right.&\rightarrow&A=(0,30)\\\\B:~\left\{\begin{array}{l}x+2y=60\\x=2y\end{array}\right.&\rightarrow&B=(30,15)\\\\C:~\left\{\begin{array}{l}y=5\\x=2y\end{array}\right.&\rightarrow&C=(10,5)\\\\D:~\left\{\begin{array}{l}y=5\\x=0\end{array}\right.&\rightarrow&D=(0,5)\end{array}

Evaluamos la función beneficio en cada vértice:

A\rightarrow f(0,30)=20\cdot0+25\cdot30=750\\\\B\rightarrow f(30,15)=975\\\\C\rightarrow f(10,5)=325\\\\D\rightarrow f(0,5)=125

La función beneficio es máxima en el vértice B. Poniendo 30 mesas altas y 15 mesas bajas se obtendría el máximo beneficio de 975€.

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