Problema 1312

Dada la función f(x)=\frac a{x+1}, se pide:

a) Encontrar el valor de a que verifica que F(0)=0 y F(1)=10\cdot\ln(2), donde F denota una primitiva de f.
b) Suponiendo que a=10, estudiar y representar gráficamente la función f en todo su dominio y calcular el área limitada por la curva y el eje X entre x=-3 y x=-2.


Solución:

a) Recordar la tabla de integrales. Se trata de una integral inmediata logarítmica:

\displaystyle F(x)=\int\dfrac a{x+1}~dx=a\ln|x+1|+k

Dado que F(0)=0:

F(0)=a\ln|0+1|+k=k~;\\\\\boxed{k=0}

y dado que F(1)=10\cdot\ln2:

F(1)=a\ln|1+1|+k=a\ln2~;\\\\a\ln2=10\ln2~;\\\\\boxed{a=10}


b) La función f(x)=\dfrac{10}{x+1} es una función elemental de proporcionalidad inversa cuya gráfica es una hipérbola con asíntota vertical x=-1, con asíntota horizontal y=0, que ocupa los cuadrantes primero y tercero.
No corta al eje x ya que y=0 es asíntota horizontal y corta al eje y (x=0):

f(0)=\dfrac{10}{0+1}=10

en el punto (0,10). El esbozo de la gráfica es semejante a la siguiente figura:

El dominio de esta función es \mathbb R\setminus\{-1\}.

El área S que nos piden es el valor absoluto de:

\displaystyle \int_{-3}^{-2}\dfrac{10}{x+1}~dx=\Big[10\ln|x+1|\Big]_{-3}^{-2}=\\\\=(10\ln|-2+1|)-(10\ln|-3+1|)=10\ln1-10\ln2=-10\ln2

Luego, S=10\ln2 u.a.

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