Problema 1313

A la hora de estudiar la relación entre el beneficio mensual de una empresa y cantidad de producto fabricado, se representa por f(x) el beneficio mensual, en millones de euros, si se han fabricado x toneladas de producto ese mes. Si en un mes se fabrican como mucho 100 toneladas de producto, el beneficio mensual se puede considerar que es \frac1{900}(-x^2+100x-1600) millones de euros, mientras que si se fabrican más de 100 toneladas de producto, el beneficio viene dado por 1-\frac{120}x millones de euros.

a) Obtén la expresión de la función f . Estudia y representa gráficamente la función f en el intervalo [0, ∞).
b) ¿Qué cantidad debe fabricar para maximizar el beneficio? ¿A cuánto asciende dicho beneficio? ¿Qué cantidad hay que fabricar para que el beneficio sea positivo?


Solución:

a) La función beneficio mensual f en función de las toneladas de producto producido x es:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac1{900}(-x^2+100x-1600)&\text{si}&x\in[0,100]\\\\1-\frac{120}x&\text{si}&x>100\end{array}\right.

La primera función parcial es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava con vértice en:

x_v=\dfrac{-100}{2\cdot(-1)}=50~;\\\\y_v=f(50)=1

Los valores de esta función parcial en x=0 y x=100 son:

f(0)=\dfrac{-1600}{900}\approx-1.78~;\\\\f(100)=\dfrac{-1600}{900}

Corta al eje x en:

\frac1{900}(-x^2+100x-1600)=0~;\\\\-x^2+100x-1600=0~;\\\\-(x-20)(x-80)=0

es decir, en los puntos (20,0) y (80,0).
La segunda función parcial es de proporcionalidad inversa. Su gráfica es una hipérbola cuya asíntota horizontal es y=1 y su asíntota vertical es x=0. Respecto a sus asíntotas, la hipérbola ocupa los cuadrantes segundo y cuarto, por lo que para x>100 es creciente.
Corta al eje x en:

1-\dfrac{120}{x}=0~;\\\\\dfrac{120}x=1~;\\\\x=120

es decir, en el punto (120,0). Por la izquierda tiende al punto (100,-0.2), por lo que f no es continua en x=100.
El esbozo de la gráfica debe ser semejante a la siguiente figura:


b) El beneficio es máximo en el vértice de la parábola, x=50 toneladas producida. El beneficio es de 1 millón de euros en ese caso.
Para que el beneficio sea positivo ha de ser x\in(20,80)\cup(120,\infty) toneladas.

Deja un comentario