Problema 1316

Para estudiar la evolución del precio medio de un producto en determinada ciudad, se consideró una muestra aleatoria de 40 comercios de dicha ciudad y se obtuvo que el precio medio de dicho producto en la muestra era de 36 euros. Se supone que el precio de dicho producto se puede aproximar por una distribución normal con desviación tı́pica 5,5 euros.

a) Construye un intervalo de confianza para el precio medio de dicho producto en esa ciudad, al 90 % de confianza.
b) ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el verdadero precio medio en esa ciudad a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 1,5 euros y un nivel de confianza del 90 %?


Solución:

a) Para un nivel de confianza del 90% tenemos:

p=\dfrac{1+0.90}2=0.95

Buscamos esa probabilidad en la tabla de probabilidades y tenemos que z_{\alpha/2}=1.645.
El error vale:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=1.645\cdot\dfrac{5.5}{\sqrt{40}}=1.43

Dado que la media vale \overline x=36, el intervalo de confianza es:

(\overline x-E,\overline x+E)=(34.57,37.43)


b) Con un error E=1.5, el tamaño n es:

n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2=\left(1.645\cdot\dfrac{5.5}{1.5}\right)^2=36.38

Se debe estudiar el precio del producto en al menos 37 comercios.

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