Problema 1317

En una determinada comunidad autónoma se ha seleccionado una muestra aleatoria de 500 personas, de las que 190 leen el periódico habitualmente.

a) Halla, con un nivel de confianza del 95 %, un intervalo para estimar la proporción de personas que leen el periódico habitualmente en esa comunidad autónoma.
b) En el intervalo anterior, ¿cuánto vale el error de estimación? ¿Qué le ocurrirı́a al error de estimación si, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, hubiese disminuido el tamaño muestral?


Solución:

a) De las n=500 personas de la muestra, la proporción de personas que leen el periódico es p'=\frac{199}{500}=0.398,~q'=1-p'=0.602.
Para un nivel de confianza del 95% tenemos z_{\alpha/2}=1.96, y el intervalo de confianza para estimar la proporción de la población es:

\left(0.398-1.96\sqrt{\dfrac{0.398\cdot0.602}{500}},0.398+1.96\sqrt{\dfrac{0.398\cdot0.602}{500}}\right)=\\\\=(0.398-0.043,0.398+0.043)=(0.355,0.441)


b) El error de estimación es:

E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{pq}n}=0.043

El error E es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño muestral n, luego, si disminuye el tamaño muestral aumenta el error de estimación.

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