Problema 1318

Una empresa del sector alimentario lanza al mercado dos nuevas bebidas, A y B, compuestas de zumos de frutas combinados. La composición de cada litro de bebida es la siguiente:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline&\text{Zumo de pi\~na}&\text{Zumo de mango}&\text{Zumo de papaya}\\\hline A&0.5\text{ litros}&0.5\text{ litros}&\\\hline B&0.4\text{ litros}&&0.6\text{ litros}\\\hline\end{array}

El precio de venta fijado es de 1,5 euros por litro de A y de 1,75 euros por litro de B.
Semanalmente se cuenta con 20 000 litros de zumo de piña, con 15 000 de zumo de mango y con 15 000 de zumo de papaya.
Determinar los litros que deben producirse semanalmente de cada bebida para obtener unos ingresos semanales máximos. ¿A cuánto ascienden dichos ingresos?


Solución:

Se trata de un problema de programación lineal. Sea x el número de litros de bebida A e y el número de litros de bebida B a producir. Se dispone de 20000 litros de zumo de piña:

0.5x+0.4y\leq20000

Se dispone de 15000 litros de zumo de mango:

0.5x\leq15000

Se dispone de 15000 litros de zumo de papaya:

0.6y\leq15000

Junto con las restricciones de positividad formamos el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}0.5x+0.4y\leq20000\\0.5x\leq15000\\0.6y\leq15000\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

Escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos:

\left\{\begin{array}{l}0.5x+0.4y=20000\\0.5x=15000\\0.6y=15000\\x=0\\y=0\end{array}\right.

La zona sombreada es la región factible o lugar que verifica todas las restricciones. Calculamos sus vértices:

\begin{array}{lcl}A:~\left\{\begin{array}{l}0.6y=15000\\x=0\end{array}\right.&\rightarrow&A=(0,25000)\\\\B:~\left\{\begin{array}{l}0.6y=15000\\0.5x+0.4y=20000\end{array}\right.&\rightarrow&B=(20000,25000)\\\\C:~\left\{\begin{array}{l}0.5x=15000\\0.5x+0.4y=20000\end{array}\right.&\rightarrow&C=(30000,12500)\\\\D:~\left\{\begin{array}{l}0.5x=15000\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow&D=(30000,0)\\\\E:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow&E=(0,0)\end{array}

Si cada litro de bebida A se vende a 1.5€ y cada litro de bebida B se vende a 1.75€, la función ingresos es:

f(x,y)=1.5x+1.75y

Evaluamos la función ingresos en cada vértice:

A\rightarrow f(0,25000)=1.5\cdot0+1.75\cdot25000=43750\\\\B\rightarrow f(20000,25000)=73750\\\\C\rightarrow f(30000,12500)=66875\\\\D\rightarrow f(30000,0)=45000\\\\E\rightarrow f(0,0)=0

Los ingresos máximos se obtienen en el vértice B. Produciendo 20000 bebidas de tipo A y 25000 bebidas de tipo B se ingresan hasta 73750€.

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