Problema 1319

Una tienda de electrodomésticos ha vendido 750 televisores de tres modelos diferentes, A, B y C. Los ingresos totales obtenidos han sido de 230 400 euros. El precio de venta del modelo A era de 320 euros; el del modelo B, un 20 % más barato que A; y el del C, un 10 % más caro que A. Además, de A y C se han vendido, en total, el doble de unidades que de B.

a) Plantear el sistema de ecuaciones que permite calcular cuántas unidades se han vendido de cada modelo de televisor.
b) Analizar la compatibilidad de dicho sistema.
c) Resolverlo.


Solución:

a) Sea x, yz el número de televisores de modelo A, B y C respectivamente. En total se han vendido 750 televisores:

x+y+z=750

Los ingresos totales obtenidos han sido de 230 400 euros:

320x+(1-0.20)\cdot320y+(1+0.10)\cdot320z=230400~;\\\\320x+256y+352z=230400~;\qquad\text{dividiendo entre 32}\\\\10x+8y+11z=7200

De A y C se han vendido el doble de unidades que de B:

x+z=2y~;\\\\x-2y+z=0

El sistema resultantes es:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=750\\10x+8y+11z&=7200\\x-2y+z&=0\end{array}\right.


b) Escribimos el sistema en forma matricial:

\begin{pmatrix}1&1&1\\10&8&11\\1&-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}750\\7200\\0\end{pmatrix}

Escribimos las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&1&1\\10&8&11\\1&-2&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&1&750\\10&8&11&7200\\1&-2&1&0\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes:

|M|=\begin{vmatrix}1&1&1\\10&8&11\\1&-2&1\end{vmatrix}=8+11-20-8-10+22=3\neq0

Luego, rg(M)=3=rg(M*)=n y, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado.


c) Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}750&1&1\\7200&8&11\\0&-2&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\10&8&11\\1&-2&1\end{vmatrix}}=\dfrac{6000-14400-7200+16500}3=300\\\\y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&750&1\\10&7200&11\\1&0&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\10&8&11\\1&-2&1\end{vmatrix}}=\dfrac{7200+8250-7200-7500}3=250\\\\z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&750\\10&8&7200\\1&-2&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\10&8&11\\1&-2&1\end{vmatrix}}=\dfrac{7200-15000-6000+14400}3=200

La tienda ha vendido 300 televisores del modelo A, 250 del modelo B y 200 del modelo C.

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