Problema 1320

Dada la función f(x)=\dfrac{x^2+x-2}{x-2} obtener sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan.


Solución:

El dominio de esta función racional es \mathbb R\setminus\{2\}.
Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x-2)\cdot1}{(x-2)^2}=0~;\\\\(2x+1)(x-2)-(x^2+x-2)=0~;\\\\2x^2-4x+x-2-x^2-x+2=0~;\\\\x^2-4x=0~;\\\\x(x-4)=0

Los puntos críticos están en x=0 y x=4.
Teniendo en cuenta el dominio de f y sus puntos críticos, estudiamos su monotonía en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,2)&(2,4)&(4,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • Crece en x\in(-\infty,0)\cup(4,+\infty)
  • Decrece en x\in(0,2)\cup(2,4)
  • Máximo en x=0,~f(0)=\frac{-2}{-2}=1,~(0,1)
  • Mínimo en x=4,~f(4)=\frac{18}{2}=9,~(4,9)

Cant-MCCSS-O-20-B2E3

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