Problema 1321

A. Dada la función f(x)=\dfrac{2x+4}{x^2+5x+6}

a) ¿En qué puntos es discontinua?
b) ¿Se puede definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad?
c) Calcular los dos límites laterales en x = –3. Interpretar gráficamente lo que ocurre en torno a dicho valor.

B. Dada la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}ax^2+2x-1&\text{si}&x\leq-1\\\\x^2-5&\text{si}&-1<x\leq3\\\\\dfrac{b+x}{3x-2}&\text{si}&x>3\end{array}\right.
determinar los valores de a y b para los que la función es continua en x = –1 y en x = 3.


Solución:

A. a) La función f es una función racional que es continua en todo su dominio, es decir, en todo \mathbb R salvo donde se anula el denominador:

x^2+5x+6=0~;\\\\(x+2)(x+3)=0

f es discontinua en x=-2 y x=-3.


A. b) Estudiemos el tipo de discontinuidad en cada punto:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-2^+}\dfrac{2x+4}{x^2+5x+6}=\dfrac00=\lim_{x\rightarrow-2^+}\dfrac{2(x+2)}{(x+2)(x+3)}=\lim_{x\rightarrow-2^+}\dfrac2{x+3}=2\\\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-2^-}\dfrac{2x+4}{x^2+5x+6}=\dfrac00=\lim_{x\rightarrow-2^-}\dfrac{2(x+2)}{(x+2)(x+3)}=\lim_{x\rightarrow-2^-}\dfrac2{x+3}=2\\\\\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-3^+}\dfrac{2x+4}{x^2+5x+6}=\dfrac{-2}{0^-}=+\infty\\\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-3^-}\dfrac{2x+4}{x^2+5x+6}=\dfrac{-2}{0^+}=-\infty

En x=-2 la discontinuidad es evitable; en x=-3 la discontinuidad es de salto infinito y no se puede evitar. Para evitar la discontinuidad en x=-2 definimos la función del siguiente modo:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{2x+4}{x^2+5x+6}&\text{si}&x\neq-2\\\\2&\text{si}&x=-2\end{array}\right.


A. c) Los límites laterales en x=-3 están calculados en el apartado b). Gráficamente estos límites se interpretan como una asíntota vertical de ecuación x=-3. La función tiende a +\infty cuando x tiende a -3 por la derecha, y tiene a -\infty cuando x tiende a -3 por la izquierda.


B. Estudiamos la continuidad en x=-1:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^+}x^2-5=-4\\\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^-}ax^2+2x-1=a-2-1=a-3\\\bullet~f(-1)=a(-1)^2+2\cdot(-1)-1=a-3

Para que f sea continua en x=-1 ha de ser -4=a-3.
Estudiamos la continuidad de f en x=3:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow3^+}\dfrac{b+x}{3x-2}=\dfrac{b+3}7\\\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow3^-}x^2-5=4\\\bullet~f(3)=3^2-5=4

Para que f sea continua en x=3 ha de ser \dfrac{b+3}7=4.
Unimos las dos ecuaciones obtenidas y tenemos un sistema:

\left\{\begin{array}{l}-4=a-3\\\\\dfrac{b+3}7=4\end{array}\right.

La solución de este sistema es: a=-1,~b=25.

Deja un comentario