Problema 1323

Una empresa juguetera lanza al mercado un nuevo modelo de balón de playa, que fabrica en tres plantas, A, B y C, de las que salen respectivamente el 45%, 21% y el 34% de la producción total. Se ha detectado un fallo en la máquina utilizada en cada planta para aplicar los colores. De hecho, sale defectuoso el 1% de los balones procedentes de la planta A, el 3% de los provenientes de la B, y el 2% de los de la C.
Seleccionamos un balón al azar de entre todos los que han salido de las tres plantas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso y haya pasado por la máquina de la planta A?
b) Si no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido de la máquina de la planta B?


Solución:

Sea A el suceso «balón de la planta A», sea B el suceso «balón de la planta B», sea C el suceso «balón de la planta C» y sea D el suceso «balón con colores defectuosos».
A partir de los datos del enunciado conocemos las siguientes probabilidades:

\bullet~P[A]=0.45\\\bullet~P[B]=0.21\\\bullet~P[C]=0.34\\\bullet~P[D/A]=0.01\\\bullet~P[D/B]=0.03\\\bullet~P[D/C]=0.02

Con estos datos podemos construir el siguiente diagrama de árbol:

a) Nos piden la probabilidad P[\overline D\cap A]:

P[\overline D\cap A]=P[A]\cdot P[\overline D/A]=P[A]\cdot(1-P[D/A])=\\\\=0.45\cdot(1-0.01)=0.45\cdot0.99=\boxed{0.4455}


b) Nos piden la probabilidad P[B/\overline D]. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[B/\overline D]=\dfrac{P[B]\cdot P[\overline D/B]}{P[\overline D]}\qquad(1)

Necesitamos la probabilidad total P[\overline D]:

P[\overline D]=1-P[D]~;\\\\P[D]=P[A]\cdot P[D/A]+P[B]\cdot P[D/B]+P[C]\cdot P[D/C]=\\\\=0.45\cdot0.01+0.21\cdot0.03+0.34\cdot0.02=0.4731~;\\\\P[\overline D]=1-0.4731=0.5269

Sustituyendo en (1):

P[B/\overline D]=\dfrac{0.21\cdot0.97}{0.5269}=\boxed{0.387}

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